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C.2 - La correlazione lineare

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È da notare come $A$ e $B$ siano di norma sempre correlate anche se le variabili di partenza $x_{i}$ sono tutte tra loro statisticamente indipendenti: in questo caso infatti tutti i termini non diagonali della matrice delle covarianze si annullano, e risulta

${\text{Cov}}(A,B)=\sum _{i=1}^{N}a_{i}\,b_{i}\,{\text{Var}}(x_{i})$.

(C.4)

C.2 La correlazione lineare

Per due variabili casuali qualunque si definisce poi il coefficiente di correlazione lineare ${\text{Corr}}(x,y)$ (anche indicato col simbolo $r_{xy}$, o semplicemente come $r$) nel modo seguente:

$r_{xy}\;\equiv \;{\text{Corr}}(x,y)\;=\;{\frac {{\text{Cov}}(x,y)}{\sqrt {{\text{Var}}(x)\,{\text{Var}}(y)}}}\;=\;{\frac {{\text{Cov}}(x,y)}{\sigma _{x}\,\sigma _{y}}}$.

Il coefficiente di correlazione di due variabili è ovviamente adimensionale; è nullo quando le variabili stesse sono statisticamente indipendenti (visto che è zero la loro covarianza); ed è comunque compreso tra i due limiti $-1$ e $+1$. Che valga quest’ultima proprietà si può dimostrare calcolando dapprima la varianza di una variabile casuale ausiliaria $z$ definita attraverso la relazione $z=\sigma _{y}\,x-\sigma _{x}\,y$, ed osservando che essa deve essere una quantità non negativa:

${\text{Var}}(z)$	$={\sigma _{y}}^{2}\,{\text{Var}}(x)+{\sigma _{x}}^{2}\,{\text{Var}}(y)-2\,\sigma _{x}\,\sigma _{y}\,{\text{Cov}}(x,y)$
	$=2\,{\text{Var}}(x)\,{\text{Var}}(y)-2\,\sigma _{x}\,\sigma _{y}\,{\text{Cov}}(x,y)$
	$\geq 0$;

da cui

${\text{Corr}}(x,y)\leq 1$.

Poi, compiendo analoghi passaggi su un’altra variabile definita stavolta come $z=\sigma _{y}\,x+\sigma _{x}\,y$, si troverebbe che deve essere anche ${\text{Corr}}(x,y)\geq -1$.

Se il coefficiente di correlazione lineare raggiunge uno dei due valori estremi $\pm 1$, risulta ${\text{Var}}(z)=0$; e dunque deve essere

$z\;=\;\sigma _{y}\,x\mp \sigma _{x}\,y\;=\;{\text{costante}}$

cioè $x$ ed $y$ devono essere legati da una relazione funzionale di tipo lineare.