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13.2 - Il lemma di Neyman-Pearson 233

con costante prefissata (nella (13.5) abbiamo sinteticamente indicato con il prodotto ). Vogliamo trovare quale di queste regioni rende massima

.

Ora, per una qualsiasi regione , valgono sia la

che la

;

e quindi, per una qualsiasi funzione , risulta sia

che

e, sottraendo membro a membro,

(13.6)

Applicando la (13.6) alla funzione otteniamo:

; (13.7)

ma, nel primo integrale del secondo membro, essendo la regione di integrazione contenuta in , deve valere la (13.4); e quindi risultare ovunque

mentre, per lo stesso motivo, nel secondo integrale