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12.4 - I piccoli campioni e la distribuzione di Student 221

campioni provengano da popolazioni aventi la stessa media si traduce nella verifica dell’ipotesi che abbia valore vero nullo.

Tale verifica, essendo distribuita secondo la legge normale, si esegue come abbiamo visto nel paragrafo precedente: si fissa arbitrariamente un valore del livello di confidenza, si determina il corrispondente valore limite degli scarti normalizzati, e lo si confronta con il valore di

.

Ovviamente vale anche qui l’osservazione fatta nel paragrafo precedente: non conoscendo le deviazioni standard delle popolazioni, e , siamo costretti ad usare in loro vece le stime ottenute dai campioni, ed ; e questo si ammette generalmente lecito quando la dimensione di entrambi i campioni è almeno pari a 30.

In caso contrario, presupponendo cioè di avere a disposizione piccoli campioni per almeno una delle due variabili, limitiamo la nostra analisi al caso in cui si sappia con sicurezza che le due popolazioni ed abbiano la stessa varianza,

e definiamo la grandezza (varianza globale dei campioni) come

.

Sapendo, dall’equazione (12.8), che le due variabili

e

sono entrambe distribuite come il , con ed gradi di libertà rispettivamente, sfruttando la regola di somma enunciata a pagina 199 si ricava che la variabile casuale

è distribuita come il ad gradi di libertà; essendo inoltre una variabile normale con media e varianza date da

e