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12.2 - Verifiche basate sulla distribuzione del χ2 205

che lascia alla propria sinistra, sotto la curva della distribuzione del ad gradi di libertà, un’area pari a tale valore.

  • Calcolare ; ed infine rigettare l’ipotesi (al livello di confidenza prescelto) perché incompatibile con i dati raccolti, se risultasse superiore a (o, altrimenti, considerare l’ipotesi compatibile con i dati al livello di confidenza prescelto e quindi accettarla).

Quanto detto a proposito della particolare distribuzione del da usare per il la verifica della nostra ipotesi, però, è valido solo se le caratteristiche della distribuzione teorica con cui confrontare i nostri dati sono note a priori; se, invece, parametri da cui essa dipende fossero stati stimati a partire dai dati, il numero di gradi di libertà sarebbe inferiore e pari ad .

Così se le sono state ricavate integrando sulle classi di frequenza una distribuzione normale la cui media e la cui varianza siano state a loro volta ottenute dal campione istogrammato, il numero di gradi di libertà, essendo sarebbe pari a .

Per dare un’idea dei valori del che corrispondono al rigetto di una ipotesi (ad un certo livello di confidenza), e senza ricorrere alle tabelle numeriche, nella figura 12b sono riportati in grafico i valori dell’integrale da a della funzione di frequenza del (ovvero il complemento ad uno della funzione di distribuzione), per alcuni valori del parametro .

Le curve della figura 12c permettono invece di identificare (per differenti scelte del livello di confidenza ) i corrispondenti valori di taglio del ridotto — ovvero del rapporto tra esso ed il numero di gradi di libertà . Insomma, ogni punto di queste curve al di sopra di un’ascissa (intera) ha come ordinata un numero tale che l’integrale da a della funzione di frequenza del ad gradi di libertà sia uguale ad .


12.2.2 Il metodo del minimo

Supponiamo di sapere a priori che i nostri dati istogrammati debbano seguire una data distribuzione, ma che essa dipenda da parametri incogniti che dobbiamo stimare a partire dai dati stessi; visto che l’accordo tra i dati e la distribuzione è dato dalla definita nella (12.9), ed è tanto migliore quanto più il valore ottenuto per essa è basso, un metodo plausibile di stima potrebbe essere quello di trovare per quali valori dei parametri stessi la è minima (metodo del minimo ).

Indicando con () i parametri da stimare, ognuna delle sarà esprimibile in funzione delle ; ed imponendo che le derivate prime della rispetto ad ognuna delle siano tutte nulle contemporaneamente,