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8.2 - La distribuzione normale | 103 |
Vista la simmetria della funzione, tutti i suoi momenti di ordine dispari rispetto alla media sono nulli; mentre quelli di ordine pari soddisfano alla formula generale (valida per qualsiasi intero k)
(8.5) |
con
.
Nel caso particolare di una variabile normale con valore medio e varianza (variabile normale standardizzata), la funzione generatrice dei momenti diventa
e la funzione caratteristica
.
Dimostriamo ora il seguente importante
- Teorema: combinazioni lineari di variabili casuali normali e tutte statisticamente indipendenti tra loro sono ancora distribuite secondo la legge normale.
Siano N variabili normali (con ), e siano e i loro valori medi e le loro varianze rispettivamente; consideriamo poi la nuova variabile casuale y definita dalla
(ove le sono coefficienti costanti). La funzione caratteristica di ognuna delle è, dalla (8.3),
e quella della variabile ausiliaria , dall’equazione (6.17),
.