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ulisse dini

ove

$S_{n}=u_{1}+u_{2}+...+u_{n},$

giacchè si troverà allora

$h_{n}={\frac {1}{S_{n}S_{n+1}}},\quad \lim h_{n}=0,$

$m_{n}={\frac {k_{n}}{h_{n}}}=S_{n+1},\quad \lim m_{n}=\infty .$

Di qui risulta intanto che per ogni serie $\sum u_{n}$ esiste una funzione $k_{n}$ per la quale il criterio riesce decisivo. È facile ora di vedere che di tali funzioni ne esiste sempre un numero infinito.

Infatti se $k_{n}$ è una tale funzione, indicando con $p_{n}$ un’altra funzione tale che $\lim k_{n}p_{n}=0$, e prendendo $k_{n}p_{n}$ in luogo della $k_{n}$, si troverà

${\begin{aligned}h'_{n}&={\frac {p_{n}k_{n}-p_{n+1}k_{n+1}}{u_{n+1}}}=p_{n}{\frac {k_{n}-{\dfrac {p_{n+1}}{p_{n}}}k_{n+1}}{u_{n+1}}},\\\\m'_{n}&={\frac {u_{n+1}k_{n}}{k_{n}-{\dfrac {p_{n+1}}{p_{n}}}k_{n+1}}};\end{aligned}}$

e se $\sum u_{n}$ è convergente e si ha $\lim h_{n}>0$, basterà prendere $p_{n}$ decrescente ma che non tenda a zero perchè si abbia ancora $\lim h'_{n}>0$; e se $\sum u_{n}$ è divergente, e si ha $\lim m_{n}>0$, basterà prendere $p_{n}$ crescente perchè si abbia ancora $\lim m'_{n}>0$.

Queste proprietà erano state notate anche dal sig. Kummer. Egli soltanto, invece di introdurre la funzione $k_{n}$ che tenda a zero, introduceva una funzione $\varphi (n)$ tale che $\lim \varphi (n)u_{n}=0$, e quindi i suoi teoremi risultano da questi, facendovi

$k_{n}=\varphi (n)u_{n}.$

Per ora, giova più lasciarli sotto la forma che loro abbiamo dato.

3. Andiamo adesso si vedere come il teorema del numero 1 conduca subito ad altri sulle serie.

Incominciamo intanto dal mostrare con esso il teorema noto che: la serie $\sum (-1)^{n}u_{n}$ i cui termini sono alternativamente positivi