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ulisse dini

negativo, la serie $\sum u_{n}$ sarà divergente, e la sua somma diverrà infinita dell'ordine di $\varphi (n)u_{n}$.

Così per es. se non si sapesse già (numero 6) che la serie $\sum {\frac {1}{n}}$ ha una somma infinita dell’ordine di $\log n$, potremmo dedurlo dalle considerazioni precedenti osservando che per la serie $\sum {\frac {1}{n}}$ il criterio del num. 19 dà $\lim h_{n}=1$ quando si prenda

$\sum {\frac {1}{\varphi (n)}}=\sum {\frac {1}{n\log n}}.$

23. Nel paragrafo precedente abbiamo veduto che esistono sempre infinite serie divergenti $\sum {\frac {1}{\varphi (n)}}$ colle quali l’applicazione del criterio del numero 19 alla ricerca della convergenza o divergenza di una serie $\sum u_{n}$ riesce decisiva. Però queste serie $\sum {\frac {1}{\varphi (n)}}$ dipendono dalla natura di $\sum u_{n}$, ed è anzi facile di vedere che non esiste una serie divergente $\sum {\frac {1}{\varphi (n)}}$ tale che il criterio riesca decisivo per qualunque serie $\sum u_{n}$, 0, in altri termini, si ha che: Qualunque sia la serie divergente $\sum {\frac {1}{\varphi ({\rm {n)}}}}$ della quale ci si serve, applicando il teorema del num. 19, per giudicare della convergenza o divergenza di un’altra serie $\sum u_{n}$, esisteranno sempre delle serie divergenti e delle serie convergenti per le quali $h_{n}$ tenderà a zero mantenendosi sempre positiva fuori del limite.

Sia infatti $\sum {\frac {1}{\varphi (n)}}$ una serie divergente qualunque colla quale si applica il teorema del num. 19 alla ricerca della convergenza o divergenza di altre serie. Allora, siccome questa serie $\sum v_{n}=\sum {\frac {1}{\varphi (n)}}$ è divergente, la serie

$V'=\sum v'_{n}=\sum {\frac {v_{n}}{(v_{1}+v_{2}+\cdots +v_{n})^{\mu }}},$

sarà divergente (num. 6) per $\mu \leq 1$ e convergente per $\mu >1$, e pure nell’un caso e nell’altro, qualunque sia $\sum {\frac {1}{\varphi (n)}}$, $h_{n}$ sarà positiva e si avrà sempre $\lim h_{n}=0$.