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studi greco-indiani

centro E con raggio AE si descrive l’arco AF; il tratto cosi ottenuto FI si divide in 3 parti uguali in G, H. EH sarà allora il raggio del circolo domandato, equivalente al quadrato proposto.

Per la quadratura del circolo all’incontro Baudhâyana, Âpastamba e Kàtyâyana danno la regola $\alpha ={\frac {13}{15}}d$, mentre il solo Baudhâyana aggiunge l’altra regola

$\alpha =\left({\frac {7}{8}}+{\frac {1}{8.29}}-{\frac {1}{8.29.6}}+{\frac {1}{8.29.6.8}}\right)d$

Singolare costruzione, singolari regole! Vediamo se è possibile far qualche passo per riconoscere l’origine.

Già a Thibaut è riuscito di identificare la regola di Baudhâyana per la quadratura del circolo colla costruzione per l’arrotondamento del quadrato. Quella costruzione dà

$d=\alpha +{\frac {1}{3}}(\delta -\alpha )$

ovvero, poichè $\delta =\alpha {\sqrt {2}}$, anche $d={\frac {\alpha }{3}}(2+{\sqrt {2}})$, $\alpha ={\frac {3d}{2+{\sqrt {2}}}}$. Ma il valore approssimato di ${\sqrt {2}}$ presso gli Indiani era, come sopra si è veduto, ${\sqrt {2}}={\frac {577}{408}}$: introducendo il quale valore in α si trova $\alpha ={\frac {1224}{1393}}d$, o in frazioni più semplici, prossimamente

$\alpha =\left({\frac {7}{8}}+{\frac {1}{8.29}}-{\frac {1}{8.29.6}}+{\frac {1}{8.29.6.8}}\right)d$

come Baudhâyana prescrive¹.

La conversione in numeri dell’operazione grafica per l’arrotondamento del quadrato non domanda dunque altro, se non che si conosca un valore approssimato per ${\sqrt {2}}$. Che dappertutto e sempre sia stata impiegata per ${\sqrt {2}}$ una stessa appros-

1. La somma di quelle è alquanto maggiore di ${\frac {1221}{1393}}$. Essa vale 0,878681... mentre ${\frac {1224}{1393}}=0,878679$... la differenza importando 2 unità della sesta decimale. Dall’espressione di Baudhâyana si ricava π=3,0883...