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Teoremi.

  1. a, b1 . a = b : ⊃ . ab = ∧.{Hp . ⊃ . ab = aa = ∧}
  2. a, b1 . ab − = ∧ : ⊃ . a − = b.{P5 = P4}
  3. a, b1 . cab : ⊃ . a − = b.{Hp . ⊃ : ab − = ∧ . P5 : ⊃ Ts.}
  4. a, b, c1 . b ∈ K 1 : ⊃ . a − ∈ ak.{P7 = P6}
  5. a1 . k ∈ K 1 : ⊃ . a − ∈ ak.

Assioma IV.

  1. a, b1 . a − = b : ⊃ . ab − = ∧.

Teoremi.

  1. a, b1 . ab = ∧ : ⊃ . a = b.{P10 = P9}
  2. a, b1 . ⊃ : a = b . = . ab = ∧.{P11 = : P4 . P10}
  3. a, b1 . a − = b : ⊃ . baab.
{Hp . ⊃ . ab − = ∧ . ⊃ . abab − = ∧ . ⊃ . Ts.}

§5. Assiomi V, VI, VII.

Assioma V.

  1. a, b1 . ⊃ . ab = ba.

Teoremi.

  1. a, b1 . ⊃ . ab = ba′.
{Hp : ⊃ : xab . = . bax . = . bxa . = . xba′ : ⊃ Ts}
  1. a, b1 . k ∈ K 1 : ⊃ : bak . = . abk.{Hp . §3 P7 : ⊃ : bak . = . kab − = ∧ . = . kba − = ∧ . = abk : ⊃ . Ts.}
  2. a, b, c, d1 . ⊃ : abcd − = ∧ . = . abcd . = . bacd . = . cdab . = . dcab.
  3. ». ⊃ : abcd − = ∧ . = . ab(cd)′ . = . bacd . = . cdab . = . dcab.
  4. ». ⊃ : abcd − = ∧ . = . ab(cd′)′ . = . bacd . = . cd(ab)′ . =. dcab.
  5. h, k ∈ K 1 . ⊃ . hk = kh.
  6. ». ⊃ . hk = kh′.