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teoremi sulle linee del terz’ordine a doppia curvatura.

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rappresentano le rette congiungenti i vertici del triangolo al fuoco del piano. Allora le coniugate armoniche di ciascuna di queste tre ultime rette rispetto alle altre due saranno:

β + γ = 0,          γ + α = 0,          α + β = 0

le quali incontrano, com’è noto, i lati corrispondenti del triangolo in tre punti posti nella retta:

α + β + γ = 0

Questa retta, che rispetto al piano (1) ha tale proprietà esclusiva, si denominerà direttrice del piano stesso.

4.º Nella memoria citata ho dimostrato un teorema, di cui qui ricorderò l’enunciato. Premetto che per polo di un piano rispetto ad una linea di second’ordine intenderò il polo della retta comune a quel piano ed al piano della linea. Ciò posto, l’enunciato di cui si tratta è il seguente:

Il luogo dei poli di un dato piano rispetto a tutte le coniche, secondo le quali i piani osculatori di una cubica gobba segano la superficie sviluppabile di cui questa è lo spigolo di regresso, è una conica situata in un piano individuato. Reciprocamente, il luogo dei poli di questo piano rispetto a tutte quelle coniche è un’altra conica posta nel primo piano dato.

Due piani dotati di questa scambievole proprietà si sono denominati congiunti; congiunte ponno dirsi anco le coniche in essi situate; congiunti i triangoli inscritti nella cubica e posti in tali piani, e da ultimo congiunti i triedri formati dai piani osculatori che concorrono ne’ fuochi de’ due medesimi piani.

5.º L’equazione del piano congiunto al piano (1) è:

2)	A — sB + s1C — s2D = 0

ove:

s = l + m + n,          s₁ = mn + nl + lm,          s₂ = lmn

essendo:

$l={\frac {\lambda (\mu +\nu )-2\mu \nu }{2\lambda -(\mu +\nu )}},$     $m={\frac {\mu (\nu +\lambda )-2\nu \lambda }{2\mu -(\nu +\lambda )}},$     $n={\frac {\nu (\lambda +\mu )-2\lambda \mu }{2\nu -(\lambda +\mu )}}$

epperò:

$s={\frac {3(\sigma ^{2}\sigma _{1}+9\sigma \sigma _{2}-6\sigma _{1}^{2})}{27\sigma _{2}+2\sigma ^{3}-9\sigma \sigma _{1}}}$
$s_{1}={\frac {3(-\sigma \sigma _{1}^{2}+6\sigma ^{2}\sigma _{2}-9\sigma _{1}\sigma _{2})}{27\sigma _{2}+2\sigma ^{3}-9\sigma \sigma _{1}}}$
$s_{2}={\frac {9\sigma \sigma _{1}\sigma _{2}-27\sigma _{2}^{2}-2\sigma _{1}^{3}}{27\sigma _{2}+2\sigma ^{3}-9\sigma \sigma _{1}}}.$