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48 sulle linee del terz’ordine a doppia curvatura.

retta congiungente il punto xyz al punto comune ai piani osculatori ne’ punti θ1 θ2 θ3. Questa retta, quando varii il punto θ3 restando fissi θ1 θ2, genera il piano:


il quale passa per la retta comune intersezione de’ piani osculatori a’ punti θ1 θ2. Variando θ2 il piano anzidetto inviluppa il cono:

((θ — θ1)(θx — θ1y) — θθ1z)2 + 4θθ1 (θ — θ1)2 xy = 0


ossia

          ove          


il quale passa per la conica comune intersezione del piano osculatore al punto θ1 e della superficie 3). Finalmente, variando anche θ1, i coni analoghi al precedente sono inviluppati dal cono di terzo ordine

(x + y + z)3 — 27 xyz = 0


il quale è quello che ha il vertice al punto xyz e passa per la cubica gobba. Dunque: tutt’i coni aventi il vertice in uno stesso punto qualunque dello spazio e passanti rispettivamente per le coniche nelle quali i piani osculatori d’una cubica gobba segano il fascio delle tangenti a questa linea, sono inviluppati dal cono di terz’ordine che ha il vertice al medesimo punto dello spazio e passa per la cubica gobba.

13. Considero i piani osculatori in sei punti della cubica gobba 2), i parametri dei quali siano θ, θ1, θ2, θ3, lo zero e l’infinito, e il piano osculatore in un settimo punto di parametro ω. Pongo:

A = x,   D = y,   A — 3θB + 3θ2C — θ3D = z,   A — 3ωB + 3ω2C — ω3D = w,


quindi:

ωθ (ω — θ) (A — 3θrB + 3θ2rC — θ3rD) = ωθr (ω — θr) z
+ (ω — θ) [θr] (x — ωθθry) + θθrr — θ) w


ove

r] = (θr — ω) (θr — θ).


Posto inoltre:

φr = ωθr (ω — θr)z + (ω — θ) [θr] (x — ωθθry)


le sei rette nelle quali i primi sei piani osculatori tagliano il piano w = 0, prese in