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sulle linee del terz’ordine a doppia curvatura.

La simmetria di questi valori mostra che anche le rette nelle quali il piano w = 0 è segato dai piani θ₁ θ₃ θ₄, θ₂ θ₃ θ₄ sono tangenti alla medesima conica. Ossia: se un piano sega una cubica gobba in tre punti, le rette congiungenti questi punti, e le rette secondo le quali il piano è segato dalle facce del tetraedro che ha i vertici in altri quattro punti della medesima cubica gobba, sono tangenti ad una stessa conica. Di questo teorema è conseguenza una elegante regola enunciata dal sig. Chasles per costruire per punti la cubica gobba, della quale sono dati sei punti (12).

10. La conica ora determinata varia nel piano w = 0 col variare il tetraedro θ₁ θ₂ θ₃ θ₄, mantenendosi però sempre inscritta nel triangolo xyz. È evidente che se si tengono fissi i punti θ₁ θ₂ θ₃ e si fa variare θ₄, le coniche corrispondenti a tutt’i tetraedri che hanno tre vertici comuni sono inscritte nello stesso quadrilatero. La quarta tangente comune è la retta comune intersezione del piano w = 0 e del piano θ₁ θ₂ θ₃. Questa retta corrisponde al triangolo θ₁ θ₂ θ₃. Tenendo fissi i punti θ₁ θ₂ e variando θ₃, le rette corrispondenti agl’infiniti triangoli che hanno due vertici comuni passano per uno stesso punto (θ — θ₁) (θ — θ₂) x = θ²y = θ₁ θ₂ z il quale è la traccia della retta θ₁ θ₂ sul piano w = 0. Questo punto corrisponde alla corda θ₁ θ₂ della cubica gobba. Se teniam fisso il punto θ₁ e variamo θ₂, quel punto descriverà la conica:

θθ₁ zy — (θ — θ₁) θ₁ xz + (θ — θ₁) θ xy = 0

$\scriptstyle {\left\{{\begin{matrix}\ \\\\\ \ \end{matrix}}\right.}$ossia

lyz + mzx + nxy = 0          ove          ${\frac {1}{l}}+{\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}=0$$\scriptstyle {\left.{\begin{matrix}\ \\\\\ \ \end{matrix}}\right\}\,}$

la quale risulta segando col piano w = 0 il cono che ha il vertice al punto θ₁ e passa per la cubica gobba. Variando anche θ₁ le infinite coniche analoghe alla precedente sono inviluppate dalla linea del quart’ordine:

z²y² + x²z² + y²x² — 2x²yz — 2y²zx — 2z²xy = 0

$\scriptstyle {\left\{{\begin{matrix}\ \\\\\ \ \end{matrix}}\right.}$ovvero

$x^{-{\frac {1}{2}}}+y^{-{\frac {1}{2}}}+z^{-{\frac {1}{2}}}=0$$\scriptstyle {\left.{\begin{matrix}\ \\\\\ \ \end{matrix}}\right\}\,}$

la quale è la medesima risultante dal segare la superficie 3) col piano w = 0. Ossia: le coniche risultanti dal segare con un piano qualunque i coni di second’ordine passanti per una cubica gobba sono inviluppate dalla linea del quart’ordine che si ha segando col piano medesimo il fascio delle rette tangenti alla cubica gobba.

11. Si consideri il punto dello spazio pel quale passano i tre piani osculatori della cubica gobba:

A = 0,          D = 0,          A — 3θB + 3θ²C — θ³D = 0.