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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

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(c) Se la cubica data è Hessiana della propria Hessiana (143, b), si avrà oltre l’equazione 9) anche la:

${\overline {r\mathrm {N} }}^{3}+3rn.{\overline {r\mathrm {N} }}^{2}-4h^{3}=0$.

Sottraggasi questa dalla 9), e dalla risultante, omesso il fattore $rn-r\mathrm {N}$ che corrisponde alle cubiche trilatere, si elimini $r\mathrm {N}$ mediante la medesima 9); ottiensi così la:

10)	${\overline {rn}}^{6}-20h^{3}.{\overline {rn}}^{3}-8h^{6}=0$,

equazione di sesto grado, che dà i sei punti $n$ corrispondenti alle sei cubiche dotate della proprietà d’essere Hessiane delle proprie Hessiane.

145. Le quattro tangenti che in generale si possono condurre ad una cubica da un suo punto, nel caso che questo sia il flesso $i$, sono le rette $i(n,m,m',m'')$. Ond’è che il rapporto anarmonico della cubica (131, b) sarà quello de’ quattro punti $nmm'm''$, ne’ quali la polare armonica del flesso è incontrata dalla tangente stazionaria e dalla cubica medesima.

Ciò premesso, possiamo ricercare quali fra le cubiche sizigetiche del dato fascio sono equianarmoniche e quali armoniche (131, b).

Siccome i tre punti $mm'm''$ sono dati dalla 8), così i quattro punti $nmm'm''$ saranno rappresentati dall’equazione:

11)	${\overline {rm}}^{4}+2rn.{\overline {rm}}^{3}-3{\overline {rn}}^{2}.{\overline {rm}}^{2}-4h^{3}.rm+4h^{3}.rn=0$,

che si ottiene moltiplicando la 8) per $rm-rn$.

La condizione necessaria e sufficiente affinchè la 11) esprima un sistema equianarmonico è (27):

$rn({\overline {rn}}^{3}+8h^{3})=0$,

che rappresenta i quattro punti $rr_{1}r_{2}r_{3}$. Dunque (144, b) un fascio di cubiche sizigetiche contiene quattro curve equianarmoniche, ciascuna delle quali è anche dotata della proprietà d’aver per Hessiana un trilatero (sizigetico).

Affinchè la 11) rappresenti un sistema armonico, dev’essere (6):

${\overline {rn}}^{6}-20h^{3}.{\overline {rn}}^{3}-8h^{6}=0$.

Quest’equazione coincide colla 10); dunque un fascio di cubiche sizigetiche contiene sei curve armoniche, le quali sono anche le cubiche dotate della proprietà d’essere Hessiane delle proprie Hessiane¹.

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1. Salmon, Higher plane curves, p. 192.