Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/460

446 introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.


Quanto precede mette in evidenza che un flesso di una cubica ha, rispetto a questa ed alla sua polare armonica, le stesse proprietà1 che un punto qualunque possiede riguardo ad una conica ed alla sua retta polare (107). 92

(b) Se tre rette segano la cubica data rispettivamente ne’ punti , e se giacciono in due rette, anche sono in linea retta (39, a). Supposto che i punti coincidano in un solo (flesso) , le due rette concorreranno, come or ora si è osservato, sulla polare armonica di . Se inoltre i punti coincidono in un punto unico, lo stesso avrà luogo de’ punti ; dunque:

La retta che unisce due flessi di una cubica sega questa in un terzo flesso2. E le tangenti (stazionarie) in due qualunque di questi tre flessi concorrono sulla polare armonica del terzo.

(c) Da questo teorema e dalla definizione della polare armonica d’un flesso si raccoglie che, se sono tre flessi in linea retta, il punto coniugato armonico di rispetto a è situato nella polare armonica di , ecc.; e che per conseguenza le polari armoniche de’ flessi sono le rette che uniscono i vertici del trilatero formato dalle relative tangenti stazionarie, col polo della retta rispetto al trilatero medesimo (76).

(d) Il teorema “se tre flessi della cubica sono in linea retta, le loro polari armoniche concorrono in uno stesso punto„ può dimostrarsi anche così. Siano le tangenti (stazionarie) della cubica ne’ tre flessi nominati; le coppie di rette sono le coniche polari de’ punti medesimi, e queste coniche devono essere circoscritte ad uno stesso quadrangolo, i cui vertici siano i poli della retta (130, a). Vale a dire, le rette devono passare pei quattro punti . Ma le tangenti in due de’ flessi s’incontrano sulla polare armonica del terzo, ossia passa pel punto ; dunque passerà anche pel punto , c. d. d.

Di qui si raccoglie che i quattro poli di una retta che contenga tre flessi della cubica sono i vertici del trilatero formato dalle tre corrispondenti tangenti stazionarie, ed il punto di concorso delle polari armoniche de’ tre flessi3.

140. Tre trasversali condotte pel flesso seghino la data cubica nei punti ; esse incontreranno la retta , polare armonica di , nei punti coniugati armonici di rispetto alle coppie . Ma gli stessi punti giacciono anche nella conica polare di relativa a qualsivoglia cubica descritta pei sette punti (139). Dunque questa conica polare si risolve in due rette, una delle quali è ; vale a dire


  1. Chasles {Sur les courbes da 3e et du 4e degré, Lettres à M. Quetelet (Corresp. math. et ph. t. 5, Bruxelles 1829, p. 236)}, Aperçu historìque, p. 349.
  2. Maclaurin, l. c. p. 231.
  3. Plücker, System der analytischen Geometrie, p. 288.