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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane. 445

priamente il pajo formato dalle rette satelliti di quelle che costituiscono la conica polare di .

Dunque ciascuna delle due rette concorrenti in e facenti parte della conica polare di ha per punto satellite (39, b) il punto . Ossia:

L’Hessiana è il luogo de’ punti satelliti delle rette che toccano la Cayleyana.

(b) Si ottiene un’altra definizione della Cayleyana, osservando che (fig. 8.ª) il punto è (133) il tangenziale di (come anche di ) rispetto all’Hessiana; e siccome le rette formano un fascio armonico, così è la retta polare di rispetto alla conica polare di . Dunque la Cayleyana è l’inviluppo della retta seconda polare mista di due punti dell’Hessiana, l’un de’ quali sia il tangenziale dell’altro1.


Art. XXIII.

Fascio di curve del terz’ordine aventi i medesimi flessi.

139 Il teorema (71), applicato alla cubica fondamentale , significa che, se per un punto fisso della curva si tira una trasversale qualunque a segar quella in altri due punti , il luogo del coniugato armonico di rispetto ad è la conica polare di .

Ma se è un flesso della cubica, la conica polare si decompone nella relativa tangente stazionaria ed in un’altra retta che non passa per (80). Dunque il luogo del punto coniugato armonico di un flesso di una cubica, rispetto ai due punti in cui questa è incontrata da una trasversale mobile intorno al flesso, è una retta2.

Alla retta , che sega la cubica ne’ tre punti ove questa è toccata dalle tre tangenti concorrenti nel flesso (39, c), si dà il nome di polare armonica del flesso , e non dee confondersi coll’ordinaria retta polare che è la tangente stazionaria3.

(a) Dal flesso si tirino due trasversali a segare la cubica rispettivamente ne’ punti . Siccome la polare armonica è pienamente determinata dai coniugati armonici di rispetto alle coppie di punti , così essa non è altro che la polare di rispetto al pajo di rette , oppure rispetto al pajo . Dunque (110, a) la retta passa pel punto comune alle rette e pel punto comune alle .

Se le due trasversali coincidono, si ottiene la proprietà che, se pel flesso si conduce una trasversale a segare la cubica in , le tangenti in questi punti vanno ad incontrarsi sulla polare armonica di .


  1. Cayley, A Memoir on curves etc. p. 439-442.
  2. Maclaurin, l. c. p. 228.
  3. {Prendendo come centro e la polare armonica come asse d’omologia, ogni cubica sarà omologica (armonica) a se stessa.}