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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

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polare tocca queste due rette, il polo giacerà nelle seconde polari pure d’entrambe (104, b; 124); dunque le $4(n-2)^{2}$ intersezioni di queste due curve sono poli d’altrettante coniche polari inscritte nell’angolo ${\rm {EF}}$, epperò sono punti comuni a tutte le seconde polari miste passanti per $o$ e relative a rette passanti per $i$. Ond’è che queste seconde polari miste formano un fascio.

Da ciò consegue che per due punti dati $oo'$ passa una sola seconda polare mista relativa a due rette (non date) concorrenti in un dato punto $i$. Vale a dire, le seconde polari pure e miste delle rette passanti per un dato punto formano una rete geometrica di curve dell’ordine $2(n-2)$.

Di qual indice è la serie delle seconde polari pure di tutte le rette passanti pel dato punto $i$? Cerchiamo quante di tali seconde polari passino per un punto arbitrario $o$. L’inviluppo delle rette le cui seconde polari (pure) passano per $o$ è la conica polare di questo medesimo punto (104, g); ad essa arrivano due tangenti da $i$; dunque per $i$ passano due sole rette le cui seconde polari (pure) contengano il punto $o$. Ossia le seconde polari pure delle rette passanti per un punto dato formano una serie d’indice $2$.

127. Sia $p$ un punto comune alla seconda polare pura di ${\rm {R}}$ ed all’Hessiana (della curva fondamentale ${\rm {C_{n}}}$). Come appartenente alla prima di queste curve, $p$ sarà il polo di una conica polare tangente ad ${\rm {R}}$; e come appartenente all’Hessiana, lo stesso punto avrà per conica polare un pajo di rette incrociantisi nel punto corrispondente $o$ della Steineriana. Ond’è che i punti comuni all’Hessiana ed alla seconda polare di ${\rm {R}}$ saranno tanti, quante sono le intersezioni di ${\rm {R}}$ colla Steineriana, cioè $3(n-2)^{2}$. Dunque:

La seconda polare pura di una retta qualunque tocca l’Hessiana dovunque l’incontra, cioè in $3(n-2)^{2}$ punti.

Siccome la conica polare di $p$ è formata da due rette concorrenti in $o$, così la retta ${\rm {R}}$, che passa per $o$, ha, rispetto a quella conica, infiniti poli situati in un’altra retta pur concorrente in $o$ (110, a). Laonde una retta ${\rm {R'}}$ condotta ad arbitrio (non per $o$) contiene un polo di ${\rm {R}}$ relativo alla conica polare di $p$; ossia (125, b) $p$ è un punto della seconda polare mista delle rette ${\rm {RR'}}$. Dunque:

I $6(n-2)^{2}$ punti in cui l’Hessiana è toccata dalle seconde polari pure di due rette date giacciono tutti nella seconda polare mista delle rette medesime¹.

Le seconde polari pure delle rette passanti per un dato punto $i$ formano (126) una serie d’ordine $2(n-2)$ e d’indice $2$; epperò sono inviluppate (124, b) da una linea

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Cremona, tomo I.

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1. {Ne segue che le seconde polari miste relative ad una retta fissa ${\rm {R}}$ [e ad una retta variabile] passano per $3(n-2)^{2}$ punti fissi della Hessiana. Esse formano una rete: in fatti, se la seconda polare mista deve passare per due punti $o,\,o'$, essa apparterrà (oltre ad ${\rm {R}}$) a quella retta ${\rm {R'}}$ che congiunge i poli di ${\rm {R}}$ relativi alle coniche polari di $o,\,o'$.}