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sue les questions 321 et 322.

En observant de quelle façon cette équation renferme les éléments qui composent les coordonnées des sommets de l’hexagone, on voit que la même équation représente aussi le plan passant par les milieux des côtés (4, 5), (5, 6), (6, 1). Donc, etc.

Question 322.

Soient 2n le nombre des côtés du polygone; a_r, b_r, c_r les coordonnées du sommet r^ième; l_r la longueur du côté (r, r + 1); α_r, β_r, γ_r les cosinus des angles de ce côté avec les axes. En supposant que r soit un des nombres 1, 2, 3, ..., n, on a

a_r = a₁ + α₁ l₁ + α₂ l₂ + ... + α_r—1 l_r—1,

a_n+r = a₁ + α_r l_r + α_r+1 l_r+1 + ... + α_n l_n,

donc

a_r + a_n+r = 2a₁ + α₁ l₁ + α₂ l₂ + ... + α_n l_n,

c’est-à-dire a_r + a_n+r est indépendant de r; analoguement pour b_r + b_n+r et c_r + c_n+r.

Je considère le point dont les coordonnes sont

$x={\frac {1}{2}}\left(a_{\mathrm {r} }+a_{\mathrm {n} +\mathrm {r} }\right),$     $y={\frac {1}{2}}\left(b_{\mathrm {r} }+b_{\mathrm {n} +\mathrm {r} }\right),$     $z={\frac {1}{2}}\left(c_{\mathrm {r} }+c_{\mathrm {n} +\mathrm {r} }\right);$

ces coordonnées satisfont évidemment aux équations de la droite (r, n + r), qui sont

${\frac {x-a_{\mathrm {r} }}{a_{\mathrm {r} }-a_{\mathrm {n} +\mathrm {r} }}}={\frac {y-b_{\mathrm {r} }}{b_{\mathrm {r} }-b_{\mathrm {n} +\mathrm {r} }}}={\frac {z-c_{\mathrm {r} }}{c_{\mathrm {r} }-c_{\mathrm {n} +\mathrm {r} }}}$

et satisfont aussi aux équations de la droite qui joint les milieux des côtés (r, r + 1), (n + r, n + r+ 1), savoir

${\frac {2x-a_{\mathrm {r} }-a_{\mathrm {r} +1}}{a_{\mathrm {r} }+a_{\mathrm {r} +1}-a_{\mathrm {n} +\mathrm {r} }-a_{\mathrm {n} +\mathrm {r} +1}}}={\frac {2y-b_{\mathrm {r} }-b_{\mathrm {r} +1}}{b_{\mathrm {r} }+b_{\mathrm {r} +1}-b_{\mathrm {n} +\mathrm {r} }-b_{\mathrm {n} +\mathrm {r} +1}}}=$$={\frac {2z-c_{\mathrm {r} }-c_{\mathrm {r} +1}}{c_{\mathrm {r} }+c_{\mathrm {r} +1}-c_{\mathrm {n} +\mathrm {r} }-c_{\mathrm {n} +\mathrm {r} +1}}};$

donc le point nommé est commun à toutes les droites qui joignent les sommets oppoés et à celles qui joignent les milieux des côtés opposés, et le même point est le milieu de chacune de ces droites.

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