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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane. 401


Così possiamo concludere che:

(d) Data una rete di curve passanti per uno stesso punto , la curva Hessiana della rete passa due volte per ed ivi ha le due tangenti comuni con quella curva della rete, per la quale è un punto doppio.79

97. Passiamo ad esaminare il caso in cui il punto , comune alle tre curve , sia una cuspide per l’ultima di esse, e la tangente cuspidale tocchi in anche e .

(a) Le curve avendo in la stessa tangente, all’una di esse può sostituirsi quella curva del fascio che ha un punto doppio in (47); onde questo punto sarà doppio per , qualunque sia (96, b). Ed inoltre, quando coincida con , questa retta sarà una delle tangenti nel punto doppio per la corrispondente curva .

(b) Essendo una cuspide per , le prime polari, relative a questa curva, di tutt’i punti di passano per ed ivi toccano (74, c); e fra esse ve n’ha una, la prima polare di , per la quale questo punto è una cuspide e è la relativa tangente cuspidale. Inoltre, la prima polare di rispetto a passa anch’essa per ed ivi tocca la medesima retta . Dunque (51, e), qualunque sia , la curva ha una cuspide in , e la tangente cuspidale è .

Ma se coincide con , le prime polari de’ punti di relative a hanno un punto doppio in (78, a), mentre le prime polari de’ medesimi punti rispetto a passano semplicemente per (70); ond’è che quella curva , che corrisponde ad coincidente con , ha un punto triplo in (52).

(c) Così è reso manifesto che le curve hanno in un punto doppio, mentre le curve hanno ivi una cuspide, e è la comune tangente cuspidale. Ne consegue (52) che è un punto quadruplo per la complessiva curva d’ordine generata dai due fasci projettivi delle e che due de’ quattro rami passanti per sono ivi toccati dalla retta . Gli altri due rami sono toccati in dalle tangenti della curva corrispondente a quella curva che ha in un punto triplo (52, a). La curva , per la quale è un punto triplo, corrisponde ad coincidente con (b), epperò corrisponde appunto a quella curva che ha un ramo toccato in dalla (a). Dunque tre delle quattro tangenti nel punto quadruplo della curva complessiva d’ordine sono sovrapposte in .

La curva d’ordine è composta della Jacobiana delle tre curve date e della prima polare di rispetto a . Questa prima polare passa una volta per ed ivi ha per tangente ; dunque la Jacobiana passa tre volte per e due de’ suoi rami sono ivi toccati dalla retta . Ossia:

(d) Data una rete di curve aventi un punto comune ed ivi la stessa tangente [la quale sia anche la tangente in ad una curva della rete, cuspidata in ],80 la curva Hessiana della rete ha tre rami passanti per , due de’ quali sono ivi tangenti alla retta .

Cremona, tomo I. 26