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4.

SUR LES QUESTIONS 321 ET 322.⁷

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Nouvelles Annales de Mathématiques, 1.^re série, tome XVI (1857), pp. 41-43.

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Question 321.

Soient a_r, b_r, c_r les coordonnées du sommet r^rième de l’hexagone; l_r la longueur du côté (r, r + 1); α_r, β_r, γ_r les cosinus des angles du même côté avec les axes. On a, par les données du problème,

a2 = a1 + α1 l1	,	b2 = b1 + β1 l1	,	c2 = c1 + γ1 l1
a3 = a1 + α1 l1 + α2 l2	,	...	,	...
a4 = a1 + α1 l1 + α2 l2 + α3 l3	,	...	,	...
a5 = a1 + α2 l2 + α3 l3	,	...	,	...
a6 = a1 + α3 l3	,	...	,	...

Par conséquent, l’équation du plan passant par les milieux des côtés (1, 2), (2, 3), (3, 4) sera

${\begin{vmatrix}1&1&1&1\\2x&2a_{1}+\alpha _{1}l_{1}&2a_{1}+2\alpha _{1}l_{1}+\alpha _{2}l_{2}&2a_{1}+2\alpha _{1}l_{1}+2\alpha _{2}l_{2}+\alpha _{3}l_{3}\\2y&2b_{1}+\beta _{1}l_{1}&2b_{1}+2\beta _{1}l_{1}+\beta _{2}l_{2}&2b_{1}+2\beta _{1}l_{1}+2\beta _{2}l_{2}+\beta _{3}l_{3}\\2z&2c_{1}+\gamma _{1}l_{1}&2c_{1}+2\gamma _{1}l_{1}+\gamma _{2}l_{2}&2c_{1}+2\gamma _{1}l_{1}+2\gamma _{2}l_{2}+\gamma _{3}l_{3}\end{vmatrix}}=0,$

ou, en transformant ce déterminant par des théorèmes très-connus,

${\begin{vmatrix}1&0&1&0\\4(x-a_{1})&\alpha _{2}l_{2}+\alpha _{3}l_{3}&\alpha _{3}l_{3}+\alpha _{1}l_{1}&\alpha _{1}l_{1}+\alpha _{2}l_{2}\\4(y-b_{1})&\beta _{2}l_{2}+\beta _{3}l_{3}&\beta _{3}l_{3}+\beta _{1}l_{1}&\beta _{1}l_{1}+\beta _{2}l_{2}\\4(z-c_{1})&\gamma _{2}l_{2}+\gamma _{3}l_{3}&\gamma _{3}l_{3}+\gamma _{1}l_{1}&\gamma _{1}l_{1}+\gamma _{2}l_{2}\end{vmatrix}}=0.$