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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

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Se la curva fondamentale ha un punto $(r)$^plo $d$, le tangenti in $d$ alla prima polare di un polo qualunque $o$ sono le $r-1$ rette, il cui sistema è la prima polare di $o$ rispetto al fascio delle $r$ tangenti alla curva fondamentale in $d$.

(a) Di qui s’inferisce, in virtù del teorema (73, a), che le prime polari di tutt’i punti di una retta passante per $d$ hanno in questo punto le stesse rette tangenti.

(b) Inoltre, se $s$ tangenti di ${\rm {C_{n}}}$ nel punto multiplo $d$ coincidono in una sola retta, in questa si riuniranno anche $s-1$ tangenti della prima polare di $o$ (73, a); onde, in tal caso, $d$ rappresenta $r(r-1)+s-1$ intersezioni di ${\rm {C_{n}}}$ colla medesima prima polare (32). Il numero delle intersezioni rimanenti è $n(n-1)-r(r-1)-(s-1)$; perciò questo numero esprime quante tangenti (70) si possono condurre dal punto $o$ alla curva fondamentale (supposto però che questa non abbia altri punti multipli). In altre parole:

Se la curva fondamentale ha un punto multiplo secondo $r$, con $s$ tangenti sovrapposte, la classe della curva è diminuita di $r(r-1)+s-1$ unità.

(c) Queste proprietà generali, nel caso $r=2$, $s=1$ e nel caso $r=2$, $s=2$, danno (73, b):

Se la curva fondamentale ha un punto doppio $d$, la prima polare di un polo qualunque $o$ passa per $d$ ed ivi è toccata dalla retta coniugata armonica di $do$ rispetto alle due tangenti della curva fondamentale.

Se la curva fondamentale ha una cuspide $d$, la prima polare di un polo qualunque passa per $d$ ed ivi ha per tangente la stessa retta che tocca la curva data.

Per conseguenza, la prima polare di $o$ sega ${\rm {C_{n}}}$ in altri $n(n-1)-2$ o $n(n-1)-3$ punti (oltre $d$), secondo che $d$ è un punto doppio ordinario o una cuspide. Cioè la classe di una curva s’abbassa di due unità per ogni punto doppio e di tre per ogni cuspide¹.

(d) Per $r$ qualunque ed $s=1$ si ha:

Se ${\rm {C_{n}}}$ ha $r$ rami passanti per uno stesso punto con tangenti tutte distinte, la classe è diminuita di $r(r-1)$ unità; vale a dire, un punto $(r)$^plo con $r$ tangenti distinte produce lo stesso effetto, rispetto alla classe della curva, come ${\tfrac {r(r-1)}{2}}$ punti doppi ordinari. La qual cosa è di un’evidenza intuitiva; perchè, se $r$ rami s’incrociano in uno stesso punto, questo tien luogo degli ${\tfrac {r(r-1)}{2}}$ punti doppi che nascono dall’intersecarsi di quei rami a due a due.

Ma se $s$ rami hanno la tangente comune, combinando ciascun d’essi col successivo

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1. Plücker, Solution d’une question fondamentale concernant la théorie générale des courbes (Giornale di Crelle, t. 12, Berlino 1834, p. 107).