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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

duate dai due sistemi $abcdo'$, $a'b'c'd'o$ passano entrambe per $x$. Dunque $x$ è il nono punto comune alle due cubiche¹.

(c) Se $abcd$ sono quattro punti di una cubica, il loro punto opposto $o$ può essere determinato così. Siano $m$, $n$ i punti in cui la curva è incontrata dalle rette $ab$, $cd$; la retta $mn$ segherà la curva medesima in $o$. Se i punti $abcd$ coincidono in un solo $a$, anche $m$, $n$ coincidono nel punto $m$ in cui la cubica è segata dalla tangente in $a$; ed $o$ diviene l’intersezione della curva colla tangente in $m$. Dunque, se (39, b) $m$ si chiama il tangenziale di $a$ ed $o$ il tangenziale di $m$ ossia il secondo tangenziale di $a$, si avrà:

Se una conica ha un contatto quadripunto con una cubica, la retta che unisce gli altri due punti di segamento passa pel secondo tangenziale del punto di contatto.

Da ciò segue immediatamente che:

La conica avente un contatto cinquipunto con una cubica incontra questa sulla retta congiungente il punto di contatto al suo secondo tangenziale².

(d) Dai teoremi (b) e (c) si raccoglie che, se due cubiche hanno fra loro due contatti quadripunti ne’ punti $a$, $a'$, il nono punto di intersezione $x$ è in linea retta coi secondi tangenziali $o$, $o'$ de’ punti di contatto $a$, $a'$. Se $a$, $a'$ coincidono, anche $o'$ coincide con $o$ ed $x$ è il suo tangenziale, cioè il terzo tangenziale di $a$; dunque:

Tutte le cubiche aventi un contatto ottipunto con una data cubica in un medesimo punto, passano pel terzo tangenziale del punto di contatto³.

(e) Il teorema (45, b) applicato ad una curva del terz’ordine suona così:

Se una cubica è segata da una curva dell’ordine $n$ in $3n$ punti, i tangenziali di questi giacciono tutti in un’altra curva dell’ordine $n$.

Donde segue immediatamente (44):

Le coniche aventi un contatto cinquipunto con una data cubica ne’ punti in cui questa è segata da una curva dell’ordine $n$, segano la cubica medesima in $3n$ punti situati in un’altra curva dell’ordine $n$.

Ed anche:

Se una conica ha un contatto cinquipunto con una cubica in $a$ e la sega in $b$, e se $a'$, $b'$ sono i tangenziali di $a$, $b$, un’altra conica avrà colla cubica un contatto cinquipunto in $a'$ e la segherà in $b'$.

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1. Hart, Construction by the ruler alone to determine the ninth point of intersection of two curves of the third degree (Cambridge and Dublin Mathematical Journal, vol. 6, Cambridge 1851, p. 181).
2. Poncelet, Analyse des transversales, p. 135.
3. Salmon, On curves of the third order (Philosophical Transactions of the Royal Society, vol. 148, part 2, London 1859, p. 540).