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| intorno alla curva gobba del quart’ordine ecc. | 307 |
§ 19.
Il piano osculatore in un punto qualunque m della curva K sega questa curva in un altro punto m1. E nel punto m1 concorrono, oltre il piano osculatore in m, i piani osculatori in altri due punti (§ 17). Dunque, ad ogni punto m1 corrispondono tre punti m. Variando simultaneamente i punti m, m1 sulla curva gobba, essi genereranno due serie projettive: l’una formata di terne in involuzione, l’altra semplice.
Vi saranno dunque quattro punti m, ciascun de’ quali coinciderà col corrispondente m1. Sono essi i quattro punti di contatto de’ quattro piani stazionari (§ 13).
Vi saranno inoltre quattro punti m1, a ciascun de’ quali corrisponderà un gruppo contenente due punti m coincidenti. I quattro punti doppi m dell’involuzione cubica sono i contatti t delle tangenti T generatrici dell’iperboloide I. I corrispondenti punti m1 sono i quattro punti t’, ove le dette tangenti segano la curva K.
Di qual grado è la superficie, luogo della retta mm1? Per questa superficie, la curva K è quadrupla, perchè dal punto m della curva, oltre mm1, partono altre tre generatrici della superficie; esse sono mm’, mm’’, mm’’’, ove m’, m’’, m’’’ siano i punti di contatto de’ tre piani osculatori, seganti la curva in m.
Sia A una retta qualunque, appoggiata alla curva K in tre punti; ogni piano, condotto per A, sega la nostra curva in un solo punto esterno a questa retta, quindi non può contenere alcuna generatrice della superficie, di cui si tratta, che non incontri A in uno de’ suoi tre punti d’appoggio. Cioè, questi sono i soli punti in cui la superficie possa essere incontrata dalla retta A, e, siccome ciascuno d’essi è quadruplo, così la superficie richiesta è del dodicesimo grado. Essa contiene evidentemente le quattro tangenti T e le quattro tangenti situate ne’ piani stazionari.
Analogamente si dimostra che la superficie, luogo delle rette m’’m’’’, m’’m’, m’m’’, è del sesto grado e che, per essa, la curva K è doppia.
Abbiamo veduto altrove (§ 17) che i quattro punti m, m’, m’’, m’’’ sono in uno stesso piano. Quale è la classe della superficie, inviluppo di un tal piano?
Questa superficie non passa per la curva K, perchè i piani tangenti di quella non sono tangenti alla curva. Laonde, per conoscere la classe della superficie, basterà sapere quanti piani tangenti le si possono condurre da un punto qualunque m della curva K. Evidentemente due. Infatti, 1.º da m si possono condurre tre piani ad osculare la curva K in m’, m’’, m’’’; e questi tre punti determinano un piano, passante per m, che è tangente all’inviluppo richiesto; 2.º il piano osculatore in m sega la curva in m1; da m1 si ponno condurre altri due piani osculatori, i punti di contatto de’ quali sono, insieme con m ed m1, in un piano tangente all’inviluppo di cui si tratta. Da
