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| 306 | intorno alla curva gobba del quart’ordine ecc. |
osculatori, il polare armonico della retta che passa pel punto dato e sega in altri due punti la curva gobba.
Se l’occhio si pone in uno de’ quattro punti t’ (§ 11), il cono prospettivo avrà una generatrice cuspidale T, in luogo della generatrice doppia, epperò sarà della terza classe. Dunque:
Per la curva gobba di quart’ordine e seconda specie passano quattro coni di terz’ordine e terza classe.
§ 18.
Prima d’abbandonare l’argomento de’ coni prospettivi alla curva K, ricerchiamo di quali linee si componga la completa intersezione di due coni, passanti per la curva ed aventi i vertici in due punti qualunque o, o’ della medesima. I due coni sono del terz’ordine, epperò la loro completa intersezione dev’essere del nono ordine. Essi hanno in comune la curva gobba K e la retta oo’; dunque si segheranno lungo un’altra curva del quart’ordine. È pur questa una curva di seconda specie, ovvero è dessa l’intersezione di due superficie di secondo grado?
Per risolvere il quesito, immagino la retta A, che passa per o e s’appoggia in altri due punti alla curva data, e per questa retta conduco un piano qualunque P, il quale incontrerà l’intersezione completa de’ due coni in nove punti. La sezione fatta dal piano P, nel cono di vertice o’, è una linea del terz’ordine passante per o; mentre l’altro cono è segato lungo la sua generatrice doppia A, e lungo un’altra retta uscente da o. Dunque, le sezioni de’ due coni hanno, all’infuori della retta A, due soli punti comuni, uno de’ quali sarà il quarto punto di segamento della curva K col piano P.
Da ciò segue che la seconda curva di quart’ordine, comune ai due coni, è incontrata da qualunque piano, passante per A, in un solo punto esterno a questa retta, cioè questa retta ha colla curva tre punti comuni. Dunque:
Due coni di terz’ordine, passanti per una curva gobba di quart’ordine e seconda specie, ed aventi i vertici su di essa, hanno in comune un’altra curva di quart’ordine e seconda specie, posta sopra un iperboloide, che passa per le due generatrici doppie dei coni.
Tuttavia, se i vertici o, o’ de’ due coni fossero situati sopra una retta A, incontrante la curva K in un terzo punto o’’, i coni avrebbero questa retta per generatrice doppia comune, il che equivale ad avere in comune una linea del quart’ordine. Inoltre, i due coni sono toccati lungo A da uno stesso piano, passante per la tangente in o’’ alla curva K; dunque, in questo caso i due coni non possono avere alcun punto comune all’infuori della curva K e della retta A.
