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| intorno alla curva gobba del quart’ordine ecc. | 303 |
punti equivalgono a dodici intersezioni. Essendo la curva D del sest’ordine, non può avere altri punti comuni coll’iperboloide, epperò le due curve K e D hanno in comune solamente gli otto punti accennati.
Dunque:
Le due curve K e D si segano in otto punti; cioè ne’ punti di contatto della curva K co’ suoi piani stazionari e ne’ punti in cui questa curva è segata dalle sue quattro tangenti, situate sull’iperboloide I. Gli ultimi quattro punti sono stazionari per la curva D1.
Un piano qualunque, condotto per uno de’ punti stazionari t’, sega la curva D soltanto in altri quattro punti: dunque il cono, che ha il vertice in quel punto e passa per la curva D, è del quart’ordine. Per esso, le rette che uniscono quel punto stazionario agli altri tre, sono generatrici stazionarie. Ora, un cono di quart’ordine, dotato di tre generatrici stazionarie (cuspidali), non può avere alcun’altra generatrice multipla; dunque, la curva D non può avere, oltre i suoi quattro punti stazionari, altri punti multipli.
§ 16.
Passiamo ora a considerare i coni prospettivi alla data curva gobba K di quart’ordine e seconda specie.
Un punto o, preso ad arbitrio nello spazio, sia il vertice di un cono passante per la curva K. Questo cono è del quart’ordine, perchè ogni piano condotto per o, incontrando la curva K in quattro punti, sega il cono lungo le quattro rette che congiungono o a que’ quattro punti.
Il cono è della sesta classe: infatti, ogni retta passante per o giace in sei piani tangenti alla curva K, epperò tangenti al cono medesimo (§ 11).
Il cono ha sei piani stazionari, tali essendo i sei piani osculatori, che da o si possono condurre alla curva data (§ 11).
Quindi, facendo nelle formole di Plücker (le quali sussistono pei coni come per le linee piane) m = 4; m’ = 6, se ne ricava d = 3, s = 0, d’ = 4. Che dovesse essere s = 0, si poteva prevedere dalla mancanza di cuspidi nella curva K.
Dall’essere d = 3 segue, che il nostro cono ha tre generatrici doppie; e siccome le curva K non ha punti doppi, così:
Per un punto qualunque dello spazio passano tre rette, ciascuna delle quali incontra la curva gobba di quart’ordine e seconda specie in due punti.
- ↑ Nei quattro punti t’, le curve K e D hanno comuni i piani osculatori.
