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| 298 | intorno alla curva gobba del quart’ordine ecc. |
un sistema avente i rapporti anarmonici eguali. Dunque, la richiesta superficie è di seconda classe, epperò anche di second’ordine. E siccome, se due de’ quattro punti (in cui la curva K è segata da uno de’ piani che si considerano) coincidono in un solo, ivi cade anche uno degli altri due, così i piani osculatori della curva gobba sodisfanno alla condizione richiesta pei piani, di cui abbiamo cercato l’inviluppo. Cioè:
L’inviluppo di un piano segante la curva gobba di quart’ordine e seconda specie, in quattro punti aventi i tre rapporti anarmonici eguali, è una superficie di secondo grado, inscritta nella sviluppabile osculatrice della curva data.
Quale è la classe della superficie, inviluppo di un piano che seghi la curva K in quattro punti armonici? Cerchiamo quanti di tali piani passino per una retta qualunque, per es. per una retta A appoggiata in tre punti a, b, c alla curva gobba. Sia d il punto della curva K coniugato armonico di a, rispetto ai due b, c; similmente sia e il coniugato di b, rispetto ai due c, a, e sia f il coniugato di c, rispetto ai due a, b. Evidentemente i soli piani che passino per la retta A e seghino armonicamente la curva data sono A (d, e, f). Dunque, l’inviluppo richiesto è della terza classe.
Quando fra quattro punti armonici, due coniugati coincidono, ivi coincide anche uno degli altri due; dunque, fra i piani che segano armonicamente la curva gobba, sono da contarsi anche i suoi piani osculatori; ossia:
L’inviluppo di un piano, che seghi la curva gobba di quart’ordine e seconda specie in quattro punti armonici, è una superficie di terza classe, inscritta nella sviluppabile osculatrice della curva data.
Per tal modo, la sviluppabile osculatrice della curva K ci si presenta, come inviluppo de’ piani tangenti comuni alla superficie di terza classe toccata dai piani che segano armonicamente la curva, ed alla superficie S di secondo grado inviluppata dai piani, ciascun de’ quali sega la curva in quattro punti aventi i tre rapporti anarmonici eguali.
Per ogni generatrice rettilinea della superficie di secondo grado S, passano tre piani tangenti alla superficie di terza classe; questi tre piani, essendo tangenti ad entrambe le superficie, sono osculatori alla curva K. Reciprocamente, ogni retta, per la quale passino tre piani osculatori della curva K, dee giacere per intero sulla superficie S; dunque:
La superficie di secondo grado, inviluppata dai piani che segano in quattro punti a rapporti anarmonici eguali la curva gobba di quart’ordine e seconda specie, è il luogo delle rette, per ciascuna delle quali passino tre piani osculatori della curva data.
Ossia:
Ogni piano segante la curva gobba di quart’ordine e seconda specie, in quattro punti a rapporti anarmonici eguali, contiene due rette, per ciascuna delle quali passano tre piani osculatori della curva.
