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| 282 | intorno alla curva gobba del quart’ordine ecc. |
serie semplice di punti, proiettiva alla prima. È noto1 esservi tre punti della seconda serie, ciascun de’ quali coincide con uno de’ due punti che gli corrispondono nella prima serie. Cioè sulla retta L vi sono tre punti, ciascun de’ quali giace in un piano P e nella corrispondente superficie S. Il che torna a dire, che la retta qualsivoglia L incontra il luogo richiesto in tre punti, epperò questo luogo è una superficie del terz’ordine. È evidente che essa passa per la curva C e per la retta R, perchè ogni punto di queste due linee sodisfà alla condizione di trovarsi simultaneamente in due superficie omologhe P, S.
Reciprocamente: se una superficie di second’ordine ed una del terzo hanno in comune una conica piana, esse si segano inoltre lungo una curva gobba del quart’ordine, per la quale passano infinite altre superficie di secondo grado. Ciascuna di esse sega la superficie del terz’ordine in una conica, ed i piani di tutte le coniche analoghe passano per una stessa retta situata per intero sulla superficie del terz’ordine.
§ 2.
Immaginiamo ora un iperboloide I ed una superficie di terz’ordine, aventi in comune due rette A, A’ non situate in un medesimo piano. La rimanente intersezione delle due superficie sarà una curva gobba K del quart’ordine. Ogni generatrice dell’iperboloide, del sistema a cui appartengono A, A’, incontra la superficie di terz’ordine in tre punti, i quali, essendo comuni alle due superficie, senza essere situati sulle rette A, A’, appartengono alla curva K. Invece, ogni generatrice dell’iperboloide I, nell’altro sistema, incontra le rette A, A’, epperò sega la superficie di terz’ordine in un solo punto fuori di queste rette. Cioè ogni generatrice del secondo sistema sega la curva K in un solo punto.
Ciascuna delle rette A, A’ incontra la curva K in tre punti. Infatti: se si conduce un piano, per es. per A, esso segherà l’iperboloide lungo A ed una retta B generatrice del secondo sistema; e lo stesso piano segherà la curva K in quattro punti de’ quali uno solo appartiene a B. Dunque, gli altri tre giacciono nella retta A.
Se una superficie del terz’ordine passa per due generatrici, d’uno stesso sistema, di un iperboloide, la rimanente intersezione delle due superficie è una curva gobba di quart’ordine, la quale sega in tre punti ciascuna generatrice di quel sistema ed in un solo punto ogni generatrice dell’altro sistema.
Da ciò che la curva K ha i suoi punti allineati a tre a tre sulle generatrici dell’iperboloide I, segue che per essa non passa alcun’altra superficie di secondo grado.
