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| sulle superficie gobbe del terz’ordine. | 273 |
sono il luogo de’ punti le cui prime superficie polari siano coni di secondo grado. I vertici di questi coni sono gli stessi punti cuspidali1.
21. Abbiamo già veduto (n.º 6) come si può generare la superficie gobba del terzo grado mediante l’intersezione de’ piani corrispondenti di due fasci projettivi, l’uno semplice intorno ad E, l’altro doppio involutorio intorno a D. Quindi il luogo delle intersezioni de’ piani corrispondenti de’ tre fasci, i cui assi sono le rette D, E, ρ’σ’, sarà la curva di quart’ordine2, secondo la quale si segano la superficie Σ e l’iperboloide polare. Ma possiamo considerare la cosa più generalmente, come segue.
Sian dati tre fasci projettivi di piani, l’uno semplice intorno all’asse E; il secondo doppio involutorio intorno all’asse D; il terzo omografico al secondo e coll’asse C. Quale è la curva luogo delle intersezioni de’ piani corrispondenti? Un piano qualsivoglia sega i tre fasci di piani secondo altrettanti fasci di rette, de’ quali il primo ed il secondo generano, colle mutue intersezioni de’ raggi omologhi, una curva del terz’ordine con un punto doppio (l’intersezione di D); mentre il secondo ed il terzo fascio generano una conica passante pei loro centri, epperò pel punto doppio della prima curva. Le due curve, avendo in comune un punto che è doppio per l’una di esse, si segheranno generalmente in altri quattro punti; dunque la curva generata dai tre fasci di piani è del quart’ordine, poichè un piano qualunque la sega in quattro punti.
I piani del secondo e del terzo fascio determinano sulla retta E due divisioni omografiche, che in generale ammettono due punti doppj; dunque la curva in questione si appoggia alla retta E in due punti.
Invece i piani del primo e del terzo fascio determinano sulla retta D due serie projettive, l’una semplice e l’altra doppia involutoria; tali serie hanno tre punti doppj, i quali sono quelli in cui la curva si appoggia all’asse D. Così pure la curva medesima si appoggia in tre punti sulla retta C.
Il primo e il secondo fascio generano una superficie gobba del terzo grado, mentre il secondo e il terzo fascio generano un iperboloide; D è la retta doppia della prima superficie, ed è anche una generatrice della seconda. La curva di cui si tratta è l’intersezione delle due superficie, astrazion fatta dalla retta D. Ora, ogni generatrice
- ↑ |Se il polo o è preso nel piano A che tocca una superficie gobba qualunque in un punto cuspidale a della curva doppia, o sarà un punto doppio della quadrica polare (A2) di a; dunque a sarà un punto doppio della prima polare di o. Cioè ogni punto del piano A ha la prima polare dotata di un punto doppio in a. Ne segue che i piani tangenti alla superficie gobba fondamentale ne’ punti cuspidali fanno parte della Steineriana.|
- ↑ Dico del quart’ordine, perchè le due superficie hanno già in comune una retta che è doppia per l’una di esse.
| Cremona, tomo I. | 18 |
