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| sur quelques propriétés des lignes gauches de troisième ordre et classe. | 225 |
C’est-à-dire: par chaque point de la droite double passent deux génératrices situées dans un plan passant par la directrice R. Ces génératrices déterminent deux involutions, l’une sur la droite R, l’autre sur la conique C. Les élémens doubles de ces involutions sont en même temps réels ou imaginaires; ils sont individués par les plans tangens à la conique C menés par la droite R.
Il est évident que le plan de la conique C contient une génératrice de la surface; car la trace de R sur ce plan aura son point homologue sur la conique, et la droite qui joint ces points sera une génératrice de la surface. Cette même droite rencontrera la conique dans un second point, par lequel passe la droite double.
2. Si l’on considère de nouveau les formes projectives proposées R et C, un point quelconque de la droite R et la droite tangente à la conique au point homologue déterminent un plan. Ce plan est osculateur d’une courbe à double courbure dont on demande la classe.
Par un point O pris arbitrairement dans l’espace et par la droite R menons un plan qui coupera le plan de la conique C suivant une droite S, et imaginons un faisceau de droites perspectif à la droite R et ayant son centre en O. Ce faisceau divisera la droite S homographiquement à la droite R. Une tangente fixe (arbitraire) T de la conique C est divisée par toutes les autres tangentes homographiquement à la droite R; donc nous aurons sur les droites S et T deux séries projectives de points. La droite qui joint deux points homologues de ces séries enveloppe une conique K qui touchera les droites S et T, et par consequent aura trois autres tangentes communes avec la conique C. Ces trois tangentes communes avec le point O déterminent trois plans qui évidemment sont osculateurs de la courbe cherchée, et sont les seuls qui passent par O. Donc cette courbe est de la troisième classe (et du troisième ordre1).
Le plan de la conique C est osculateur de la courbe nommée (cubique gauche) et par la droite R passent deux plans osculateurs (réels ou imaginaires) de la même courbe.
3. Réciproquement: soient données une cubique gauche, un plan osculateur et une droite R intersection de deux autres plans osculateurs (réels ou imaginaires). Le premier plan osculateur coupera la surface développable, dont la cubique est l’arête de rebroussement, suivant une conique C2. Les plans osculateurs de la cubique gauche déterminent sur la droite R et sur la conique C deux séries projectives de points. La droite qui joint deux points homologues de ces formes engendre une surface du troisième ordre (et troisième classe), dont la droite double gît dans un plan osculateur de la cubique gauche.
| Cremona, tomo I. | 15 |
