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intorno ad una proprietà delle superficie curve, ecc.

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Perciò all’equazione (8) può darsi la forma:

12)	${\frac {\sqrt {p^{2}+q^{2}+r^{2}}}{\Delta }}$ cos ω = lαα₁ + l₁ (βγ₁ + γβ₁) + mββ₁ + m₁ (γα₁ + αγ₁) + nγγ₁ + n₁ (αβ₁ + βα₁).

Si moltiplichino fra loro le equazioni (9), (10) e dal risultato si sottragga il quadrato della (12). Avremo:

$(p^{2}+q^{2}+r^{2})\left({\frac {1}{dd_{1}}}-{\frac {\cos ^{2}\omega }{\Delta ^{2}}}\right)={\frac {\operatorname {sen} ^{2}\omega }{p^{2}+q^{2}+r^{2}}}\Theta ,$

cioè:

13)	$\left({\frac {1}{dd_{1}}}-{\frac {\cos ^{2}\omega }{\Delta ^{2}}}\right)={\frac {\operatorname {sen} ^{2}\omega }{\delta \delta _{1}}}.$

4. Nel caso che studiamo, cioè che le superficie inviluppate siano qualsivogliano, ma che per ciascuna di esse il punto di contatto colla data sia un ombelico, chiameremo le due rette (α, β, γ), (α₁, β₁, γ₁), tangenti sferoconiugate, perchè le equazioni (11) e (13), che ne esprimono le proprietà, sono identiche a quelle che si otterrebbero supponendo le inviluppate sferiche.

Al sistema delle equazioni (11), (13) equivale il seguente:

14)	${\frac {1}{d}}+{\frac {1}{d_{1}}}-{\frac {2}{\Delta }}=\operatorname {sen} ^{2}\omega \left({\frac {1}{\delta }}+{\frac {1}{\delta _{1}}}-{\frac {2}{\Delta }}\right),$

15)	${\frac {1}{dd_{1}}}-{\frac {1}{\Delta ^{2}}}=\operatorname {sen} ^{2}\omega \left({\frac {1}{\delta \delta _{1}}}-{\frac {1}{\Delta ^{2}}}\right),$

dalle quali eliminando sen² ω si ha la:

$\left({\frac {1}{d}}+{\frac {1}{d_{1}}}\right)\left({\frac {1}{\delta \delta _{1}}}-{\frac {1}{\Delta ^{2}}}\right)-{\frac {1}{dd_{1}}}\left({\frac {1}{\delta }}+{\frac {1}{\delta _{1}}}-{\frac {2}{\Delta }}\right)$ $+{\frac {1}{\Delta }}\left({\frac {1}{\Delta \delta }}+{\frac {1}{\Delta \delta _{1}}}-{\frac {2}{\delta \delta _{1}}}\right)=0,$

relazione fra i raggi d, d₁ di due sezioni normali a tangenti sferoconiugate. Se ω = 90°, le (14), (15) danno i raggi d, d₁ eguali ai raggi δ, δ₁; dunque:

In un punto qualunque di una data superficie curva, le linee di curvatura hanno le tangenti sferoconiugate. Le sole linee ortogonali che abbiano le tangenti sferoconiugate sono le linee di curvatura.

Noi riterremo che il raggio Δ non varii che al variare del punto (x, y, z) sulla data superficie. Ciò ha luogo per es. supponendo che le inviluppate siano sfere di raggio