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sulle coniche e sulle superficie di second’ordine congiunte.

tocca la superficie (1), purchè sia soddisfatta la condizione:

${\frac {t^{2}}{a+\omega }}+{\frac {u^{2}}{b+\omega }}+{\frac {v^{2}}{c+\omega }}=1$

equazione cubica in ω, avente tre radici sempre reali, l’una maggiore di — c, la seconda compresa fra — c e — b, la terza compresa fra — b e — a. Dunque:

Un piano qualunque tocca sempre tre superficie congiunte ad una data: un ellissoide e due iperboloidi di specie diversa.

Siano λ, μ, ν le tre radici dell’equazione cubica in ω, cioè i parametri delle tre superficie toccate dal piano proposto; abbiamo:

(a — b) (a — c) t² = (a + λ) (a + μ) (a + ν)
(b — c) (b — a) u² = (b + λ) (b + μ) (b + ν)
(c — a) (c — b) v² = (c + λ) (c + μ) (c + ν).

Evidentemente le λ, μ, ν si ponno assumere come coordinate ellittiche tangenziali nello spazio. Le formole precedenti servono per passare dalle coordinate tangenziali di Plücker t, u, v alle nuove.

30. I tre punti, in cui un piano arbitrario tocca tre superficie congiunte ad una data, godono di questa importante proprietà:

Un piano qualunque tocca tre superficie congiunte ad una data in tre punti che uniti al centro di questa determinano tre rette ortogonali. Inoltre, le rette che uniscono a due a due i punti di contatto sono, per ciascuna delle tre superficie toccate, la polonormale e le due caratteristiche principali, corrispondenti al piano tangente comune.

Dunque:

Se più superficie congiunte sono segate da un piano qualsivoglia in altrettante coniche, queste sono vedute dal centro comune delle superficie sotto coni omociclici. Gli assi principali di questi coni incontrano il piano dato ne’ punti ove questo tocca tre delle superficie congiunte; e i piani ciclici dei medesimi coni passano per le generatrici, poste nel piano dato, dell’iperboloide rigato che è una di queste tre superficie.

Rammentando che cosa intendiamo per superficie sviluppabile principale circoscritta ad una data superficie qualsivoglia, segue dai precedenti teoremi:

I piani tangenti comuni a due superficie di second’ordine, congiunte, di specie diversa formano una superficie sviluppabile circoscritta che è principale per entrambe le date. Questa sviluppabile ha tre coniche di stringimento ne’ piani principali, e la quarta conica all’infinito.