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| sulle coniche e sulle superficie di second’ordine congiunte. | 155 |
26. Se consideriamo uno de’ cilindri congiunti ad una superficie di second’ordine, le rette polari delle sue generatrici, relativamente alla superficie data, sono nel piano principale perpendicolare al cilindro e inviluppano una conica, i cui assi coincidono in direzione con quelli della conica base del cilindro stesso. Data una generatrice del cilindro, il piede della quale sul piano principale sia i, conducasi in i la tangente alla base del cilindro. Su questa tangente prendasi un punto t in modo che i raggi vettori Oi, Ot siano ortogonali. Allora la retta polare della generatrice passerà per t.
Immaginiamo ora la conica focale o eccentrica situata nel piano principale che si considera; gli assintoti di essa siano incontrati dalla polare della generatrice ne’ punti p, q. I raggi vettori Op, Oq incontrino in p’, q’ un piano tangente M qualsivoglia della superficie data. Sia N il piano tangente al cilindro lungo la generatrice immaginata; e la retta condotta per O, centro della superficie data, normalmente al piano determinate da O e dall’intersezione dei piani M, N, incontri questi due piani in m, n. Allora la quantità:
rimane costante, comunque siano scelti i piani M, N. Ossia:
Assunti ad arbitrio un piano tangente M di una superficie di second’ordine ed un piano tangente N di un suo cilindro congiunto, e trovati i due punti p, q in cui gli assintoti della conica focale, situati nel piano principale perpendicolare al cilindro, sono incontrati dalla retta polare della generatrice di contatto del piano N, rispetto alla superficie data; se i raggi vettori condotti dal centro O di questa ai punti p, q incontrano il piano M in p’, q’; e se la perpendicolare condotta per O al piano vettore della retta intersezione di M, N incontra questi piani in m, n; la quantità
è costantemente eguale al prodotto dell’inverso quadrato del semiasse della data superficie parallelo al cilindro considerato, moltiplicato per la differenza dei quadrati degli altri due semiassi.
Questo teorema, se vuolsi che gli elementi in esso considerati siano tutti reali, non può riferirsi che al cilindro perpendicolare a quel piano principale che contiene la focale iperbolica. Per l’altro cilindro, può darsi al teorema quest’altro enunciato:
Assunti ad arbitrio un piano M tangente ad una superficie di second’ordine, ed un piano N tangente ad un cilindro congiunto, e condotto il piano P per la polare della generatrice di contatto di questo cilindro e pel punto in cui il piano M incontra un assin-
