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| sulle coniche e sulle superficie di second’ordine congiunte. | 151 |
al cilindro lungo queste generatrici segano la superficie data in due coniche, per le quali passa un cono di rotazione concentrico alla medesima superficie data. L’asse di questo cono è perpendicolare al piano segante il cilindro congiunto.
Reciprocamente:
I cilindri congiunti di una superficie di second’ordine sono l’inviluppo dei piani delle coniche d’intersezione di questa superficie colle superficie di rotazione, omologiche ad essa, ed aventi un fuoco nel centro della data. Inoltre gli stessi cilindri sono il luogo delle rette d’intersezione dei piani delle coniche anzidette coi piani direttori delle superficie di rotazione, relativi al loro fuoco comune.
Segue dal precedente teorema che:
Data una superficie di second’ordine, i piani assintoti del suo cilindro congiunto iperbolico la segano in due cerchi pe’ quali passa una sfera concentrica alla superficie data.
Se la superficie (1) è un ellissoide, il cilindro congiunto ellittico le è tutto esterno, epperò nessun piano tangente di questo incontra quella. Invece il cilindro iperbolico congiunto ha quattro piani tangenti comuni all’ellissoide, i quali costituiscono i limiti di separazione fra quei piani tangenti del cilindro che segano l’ellissoide e quelli che non lo segano.
Se la superficie (1) è un iperboloide ad una falda, tutt’i piani tangenti de’ due cilindri congiunti reali segano effettivamente la superficie data.
Se la superficie (1) è un iperboloide a due falde, essa non è incontrata da alcun piano tangente del cilindro iperbolico congiunto. Il cilindro ellittico ha quattro piani tangenti comuni colla superficie data, i quali separano i piani del cilindro che segano l’iperboloide da quelli che non lo segano.
20. Il teorema 1), n.º 15, applicato alla superficie (1) e ad un suo cilindro congiunto, diviene:
Due qualisivogliano piani tangenti di un cilindro congiunto di una data superficie di second’ordine sono i piani direttori, relativi al centro di questa, preso come punto focale, di un’altra superficie di second’ordine inscritta nella data lungo una conica, il cui piano passa per le due generatrici di contatto del cilindro co’ suoi due piani tangenti.
E come caso particolare:
I due piani assintoti del cilindro iperbolico congiunto ad una data superficie di second’ordine sono i piani ciclici del cono assintotico della superficie data.
21. I teoremi f), n.º 14 ed u), n.º 17 applicati alla superficie (1) danno:
Data una superficie di second’ordine, un suo cilindro congiunto e due piani tangenti di questo, se immaginiamo:
1.º La serie infinita delle superficie di second’ordine che si possono far passare per le due coniche, intersezioni della data superficie co’ due piani tangenti del cilindro congiunto;
