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sur les coniques sphériques et nouvelle solution générale ecc.

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le centre sphérique du cercle est le pôle (absolu) de la ligne géodésique (grand cercle):

ax + by + cz = 0.

Le cercle (2) devient géodésique (grand cercle) si λ = 0.

Pour λ infini on a le cercle imaginaire

3)	x2 + y2 + z2 = 0,

situé à une distance infinie (car il est la ligne du contact idéal entre la sphère et son cône asymptote).

L’équation (2) démontre que:

Tous les cercles (grands ou petits) tracés sur la sphère peuvent être considerés comme des coniques sphériques qui ont un double contact avec le cercle imaginaire à l’infini.

2. Soit

4)	${\frac {x}{x_{0}}}={\frac {y}{y_{0}}}={\frac {z}{z_{0}}}$

un point de la surface sphérique. La géodésique polaire relative au cercle imaginaire (3) pris comme courbe directrice est

5)	x0x + y0y + z0z = 0,

et la géodésique polaire du même point, par rapport à la conique (1), est

6)	x(αx0 + φy0 + εz0) + y(φx0 + βy0 + δz0) + z(εx0 + δy0 + γz0) = 0.

Si les deux lignes géodésiques (5) et (6) doivent coïncider, c’est-à-dire si le point (4) a la même polaire par rapport a la conique (1) et au cercle imaginaire (3), on aura

αx₀ + φy₀ + εz₀ = θx₀,

φx₀ + βy₀ + δz₀ = θy₀,

εx₀ + δy₀ + γz₀ = θz₀.

L’élimination de x₀ : y₀ : z₀ de ces équations donne une équation cubique en θ; on sait que cette équation résultante a ses racines réelles, et que si l’on désigne par

7)	(x1 : y1 : z1),     (x2 : y2 : z2),     (x3 : y3 : z3)

les systèmes de valeurs de (x₀ : y₀ : z₀) qui correspondent aux trois valeurs de l’in-