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| solution de la question 435. | 111 |
qui, comme on sait, est touchée par la droite à l’infini. Dans un petit Mémoire qui va être publié dans les Annali di Matematica j’ai classifié les cubiques gauches comme il suit1:
Premier genre. La courbe a trois asymptotes réelles; il n’y a pas de plans osculateurs parallèles; les plans osculateurs coupent la surface développable qu’ils enveloppent suivant des coniques qui sont toutes des hyperboles; les centres de ces hyperboles sont sur une ellipse. Le plan de cette ellipse rencontre la cubique en trois points réels et coupe les cônes du second degré qui passent par la cubique suivant des hyperboles.
Seconde genre. La cubique a une seule asymptote réelle et deux plans osculateurs parallèles entre eux qui coupent la surface développable (dont la courbe est l’arête de rebroussement) suivant deux paraboles; tous les autres plans osculateurs coupent la même surface suivant des ellipses ou des hyperboles. Les centres de ces coniques sont sur une hyperbole dont le plan est parallèle et équidistant aux deux plans osculateurs parallèles. Une branche de l’hyperbole focale contient les centres des ellipses; l’autre branche contient les centres des hyperboles. Les points de la cubique gauche auxquels correspondent des ellipses sont situés entre les plans osculateurs parallèles; les points auxquels correspondent des hyperboles sont au dehors. Le plan de l’hyperbole focale rencontre la cubique gauche dans un seul point réel et coupe les cônes du second degré qui passent par la courbe suivant des ellipses.
Tels sont les seuls cas absolument généraux que peuvent présenter les cubiques gauches. Mais il y a à considerer aussi deux cas particuliers, savoir:
1.º La courbe a une seule asymptote réelle a distance finie; les deux autres sont aussi réelles, mais elles coïncident à l’infini. C’est-a-dire: le plan à l’infini coupe la courbe dans un point et est tangent dans un autre. Les plans osculateurs coupent la développable suivant des hyperboles, à l’exception d’une seule qui est une parabole. Les centres de ces hyperboles sont sur une autre parabole. Les deux paraboles sont dans un même plan qui coupe les cônes du second degré passant par la courbe suivant des paraboles.
2.º La courbe a toutes ses asymptotes qui coincident a l’infini, savoir, elle est osculée par le plan à l’infini. Les plans osculateurs coupent la développable suivant des paraboles.
