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94 intorno alle superficie della seconda classe ecc.


da cui:

γ — iγ’ > 0


cioè:

iγ’ > — γ


ossia, essendo γ e γ’ quantità negative:


epperò i non compreso fra zero e λ.

Per i compreso fra λ e μ si ha Φ > 0; inoltre Θ1 > 0 perchè λ’’ > 0, λ’’ — λ < 0, Ξ2 > 0 perchè λ — μ’ > 0.

Per i compreso fra μ e ν si ha Φ < 0, Θ1 < 0.

Per i > ν si ha Φ > 0 e Ξ2 < 0 perchè ν — μ’ > 0.

Dunque in questo caso corrispondono iperboloidi ad una falda al primo e quinto segmento; iperboloidi a due falde al secondo e quarto; superficie ideali al terzo.


Settimo caso.

15.º In questo caso si ha:

α > 0,     β > 0,     γ < 0,     a > 0,     b < 0,     c < 0.


Per i < 0 si ha Φ < 0, Θ1 > 0, Ξ3 < 0.

Per i compreso fra lo zero e λ si ha Φ > 0 e Ξ1 < 0 perchè λ — λ’ < 0.

Per i compreso fra λ e μ si ha Φ < 0 e Ξ2 > 0 perchè μ — μ’ < 0.

Per i compreso fra μ e ν si ha Φ > 0, Θ1 > 0, perchè λ’’ > 0, λ’’ — λ < 0, e Ξ2 > 0 perchè ν — μ’ < 0.

Per i > ν si ha Φ > 0, Θ1 < 0.

Dunque nel caso attuale corrispondono ellissoidi al primo segmento; iperboloidi ad una falda al secondo; iperboloidi a due falde al terzo e quinto; superficie ideali al quarto.

16.º Nelle cose precedenti abbiamo sempre supposto che le equazioni (1) rappresentassero coniche nel significato più generale della parola, cioè iperboli od ellissi (reali o ideali). Ma una di esse (ed una sola) potrebbe essere una parabola; per es. lo sarebbe la quarta se si avesse γ’ = 0. Allora non si ha più paraboloide, perchè l’equazione (3) viene a coincidere colla quarta delle (1), avendosi in tal caso:

aα’ + bβ’ = 0.


In questa ipotesi hanno luogo ancora i casi sopra considerati, ad eccezione del settimo,