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Dal punto di vista analitico non si può mettere in dubbio ciò che Laplace afferma; le equazioni del moto sono equazioni differenziali ordinarie del secondo ordine, e, se si sanno scrivere e si sanno integrare, la determinazione completa degli integrali importa la conoscenza di un numero di costanti doppio di quello delle equazioni. La conoscenza, ad esempio, delle coordinate e delle velocità iniziali.
Si può dunque calcolare ciò che il sistema sarà ad un istante qualungue, se appena si conosce ciò che è e come diventa in un istante arbitrario.
Al tempo di Laplace del resto tutti i fatti apparivano d’accordo con questi resultati della meccanica analitica.
Al tempo nostro non più.
Si prende un tubo di gomma e lo si sospende in posizione verticale fissando con una morsa l’estremo superiore; e poi in basso si applica un peso.
Di quanto si allungherà il tubo?
Alla domanda non si può rispondere senz’altro. Perchè l’allungamento non è ancora determinato dalla sostanza e dalle dimensioni del sistema e dal peso tensore, vale a dire dalla forza esterna.
Coeteris paribus la deformazione dipende ancora dalla storia anteriore del tubo; esso si allunga in diversa misura, secondo che è stato o non è stato prima sottoposto ad azioni meccaniche.
Entro una spirale di filo metallico percorsa dalla corrente vi è un nucleo di ferro, quale magnetizzazione assumerà?
Anche qui non si risponde se non si sa quali vicende magnetiche abbia subìto per il passato quel pezzo di ferro.
Onde procedere innanzi nel caso dei fenomeni termici si sono completate da principio, come abbiamo veduto, le equazioni della dinamica, e solo più tardi si è visto che i termini aggiunti stavano a rappresentare l’influenza delle masse nascoste.
Qualche cosa di simile si può tentare per ciò che riguarda l’isteresi elastica e magnetica.
E in realtà siamo ora nella primissima fase della ricerca.
Analiticamente la storia anteriore del sistema sarà rappresentata da un integrale di tempo, e le equazioni prenderanno una forma nuova.
Il Volterra, che si è posto per il primo il problema ed ha creato gli istrumenti e il metodo per risolverlo, le ha chiamate equazioni integrodifferenziali.
Intorno a questa meccanica ereditaria e più precisamente intorno alla sua importanza pratica e al significato filosofico sono stati sollevati dei dubbii da Paolo Painlevé.
