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2 - Rappresentazione numerica dei segnali

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za del rumore di quantizzazione è il parametro che fissa il limite massimo del rapporto segnale/rumore ottenibile in decodifica (fig. 2.8). Nel seguito si vogliono individuare i parametri che influenzano l’entità del rumore di quantizzazione, per fissarne l’ampiezza in funzione delle caratteristiche del segnale.

Abbandonando, per generalità, l’ipotesi di caratteristica lineare, è possibile, innanzitutto, calcolare la dimensione dell’intervallo di ampiezze i-esimo del segnale continuo d’ingresso δ_xi che corrisponde ad un quanto costante Δ d’uscita. Approssimando la caratteristica in ciascun intervallo con la sua tangente nel punto medio xi si ottiene

$\delta _{x_{i}}={\frac {\Delta }{f(x_{i})}}={\frac {2V}{nf'(x_{i})}}={\frac {2V}{2^{R}f'(x_{i})}}=$

(2.24)

In ciascun intervallo è poi possibile calcolare Terrore quadratico medio tra il segnale e la sua versione quantizzata (cioè l’energia dell’errore di quantizzazione), in funzione della distribuzione di probabilità p(x) delle ampiezze del segnale

$e_{q}^{2}=E\left\{(x-x_{i})^{2}\right\}=\int _{x_{i}-{\frac {\delta _{x_{i}}}{2}}}^{x_{i}+{\frac {\delta _{x_{i}}}{2}}}(x-x_{i})^{2}p(x)dx$

(2.25)

Se il numero di livelli è elevato, la probabilità all'interno del quanto si può ritenere costante e pari a quella del valor medio p(x_i), per cui

$e_{q}^{2}=\int _{x_{i}-{\frac {\delta _{x_{i}}}{2}}}^{x_{i}+{\frac {\delta _{x_{i}}}{2}}}(x-x_{i})^{2}p(x)dx=p(x)\int _{x_{i}-{\frac {\delta _{x_{i}}}{2}}}^{x_{i}+{\frac {\delta _{x_{i}}}{2}}}(x-x_{i})^{2}dx=p(x_{i})\left[{\frac {(x-x_{i})^{3}}{3}}\right]_{x_{i}-{\frac {\delta _{x_{i}}}{2}}}^{x_{i}+{\frac {\delta _{x_{i}}}{2}}}$

$e_{q}^{2}={\frac {\delta _{x_{i}}^{3}}{12}}p(x_{i})={\frac {\delta _{x_{i}}^{2}}{12}}P(x_{i})={\frac {V^{2}}{3n^{2}f'^{2}(x_{i})}}P(x_{i})$

(2.26)