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Codifica numerica del segnale audio

Fig. 2.5 - Ricostruzione di un segnale tramite interpolazione dei suoi campioni.

$x_{r}(t)=x_{s}(t)\otimes h_{r}(t)=\sum _{n}x(n)h_{r}(t-nT)=\sum _{n}x(n){\frac {sin[\pi (t-nT)/T]}{\pi (t-nT)/T}}$

(2.13)

Analizzando questa relazione si nota che la h_r(nT) vale 1 per n=0 ed è nulla per n≠0. L’ampiezza della x_r(t) nei punti di campionamento, quindi, coincide con l’ampiezza dei campioni, mentre negli altri punti è ottenuta con una interpolazione tramite una funzione sinc(t).

È possibile dimostrare l’invertibilità del campionamento ideale anche procedendo in maniera differente. Si consideri la ripetizione periodica dello spettro di un segnale continuo a banda Ω_B limitata, con repliche poste a multipli pari della Ω_B

$X_{p}(\Omega )=\sum _{k=-\infty }^{\infty }X_{c}(\Omega -2k\Omega _{B})$

(2.14)

Essendo la X_p(Ω) una funzione periodica, essa può essere sviluppata in serie di Fourier. Per un segnale funzione del tempo si ha