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Codifica numerica del segnale audio

Un problema che si incontra nel filtraggio passa banda è la presenza di aliasing, introdotto dalla decimazione, a seguito dell’uso di filtri non ideali. In tal modo l’energia in ciascuna sottobanda è influenzata dal contributo delle bande adiacenti. Questo fenomeno è tanto più sensibile per quelle bande a bassa energia, per le quali il contributo dovuto alla non idealità dei filtri può essere predominante. La realizzazione ottimale del banco dei filtri è, quindi, un punto chiave e la scelta dei filtri h(n) ed f(n) deve essere tale da minimizzare l’aliasing. È possibile analizzare tale fenomeno sia nel dominio del tempo o in frequenza.

Analizzando l’aliasing nel dominio del tempo, si vuole vedere sotto quali condizioni ne è possibile 1*eliminazione. Imporre che x(n) = x(n) è possibile sostituendo l’espressione del filtro di analisi in quello di sintesi, ottenendo

${\hat {x}}(n)=\sum _{m=-\infty }^{\infty }f(n-nM)\left[{\frac {1}{K}}\sum _{k=0}^{K-1}e^{jn\omega _{k}}\sum _{r=-\infty }^{\infty }h(mM-r)x(r)e^{-jr\omega _{k}}\right]$

$=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{r=-\infty }^{\infty }x(r)\ f(n-nM)\ h(mM-r)\left[{\frac {1}{K}}\sum _{k=0}^{K-1}e^{j(n-r)\omega _{k}}\right]$

(D.34)

Dato che l’esponenziale è pari ad 1 per r = n - sK, con s intero, l’espressione precedente può essere riscritta come

${\hat {x}}(n)=\sum _{s=-\infty }^{\infty }x(n-sK)\sum _{m=-\infty }^{\infty }f(n-nM)h(mM-n+sK)$

(D.35)

affinché sia valida l’uguaglianza x(n) = x(n), la seconda sommatoria deve annullarsi per s * 0 e deve valere uno per s = 0. Indicando le versioni traslate delle risposte impulsive come

${\begin{cases}h_{m}(n)=h(n-mM)\\f_{m}(n)=f(n-mM)\end{cases}}$

(D.36)

la relazione precedente si riscrive come

${\hat {x}}(n)=x(n)\sum _{m=-\infty }^{\infty }f_{m}(n)\ h_{m}(-n)+\sum _{s=-\infty ,s\neq 0}^{\infty }x(n-sK)\sum _{m=-\infty }^{\infty }f_{m}(n)\ h_{m}(sK-n)$

(D.37)