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A - Processi auto regressivi

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Nel caso di sistemi discreti LTI posti tra loro in cascata, si può verificare che la funzione di trasferimento complessiva è data dal prodotto delle funzioni di trasferimento dei singoli sistemi. Infatti

$Y_{2}(z)=X_{2}(z)\cdot H_{2}(z)=Y_{1}(z)\cdot H_{2}(z)=X_{1}(z)\cdot H_{1}(z)\cdot H_{2}(z)$

(A.29)

Ipotizzando di voler realizzare il sistema inverso ad uno dato. Ciò vuol dire che si vuole realizzare un sistema che messo in cascata ad un secondo produce una funzione di trasferimento complessiva unitaria. A tal fine è immediato verificare che è sufficiente realizzare un sistema che abbia come poli gli zeri del sistema da invertire e viceversa. Affinché anche il sistema inverso sia stabile, è necessario che i suoi poli siano all'interno della circonferenza unitaria, il che si traduce con il vincolo che il sistema originario, oltre ad avere i propri poli all'interno della circonferenza unitaria per la sua stabilità, vi abbia anche gli zeri. Sistemi con sia poli che zeri all'interno della circonferenza unitaria sono detti a fase minima.

A.2 FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE DI UN PROCESSO AUTOREGRESSIVO

L’equazione caratteristica di un processo AR, soddisfatta sia dal processo u(n)

$u(n)=v(n)-\sum _{k=1}^{q}w_{k}\ u(n-k)$

(A.30)

che dall’autocorrelazione R(n)

$\sum _{k=0}^{q}w_{k}R_{uu}(n-k)=0;{\begin{cases}n=1,2,...,q\\w_{0}=1\end{cases}}$

(A.31)

è pari a

$1+\sum _{k=1}^{q}w_{k}z^{-k}=0;$

(A.32)