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7 - Codifica nel dominio della frequenza

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cioè essi risultano essere ortogonali e scorrelati. In questo modo si soddisfa il desiderato criterio di indipendenza dei coefficienti della trasformata.

Fig. 7.15 - Codifica per trasformate.

Si consideri, ora, il problema della minimizzazione dell’errore quadratico medio. Si vuole verificare che l’insieme di vettori base Φ_i, i=0,...,N-1 minimizza l’MSE di una rappresentazione troncata, utilizzante solo i primi D coefficienti (D < N) di una coppia di trasformazioni A-B. L’importanza dal punto della codifica di tale approccio è evidente, dato che la mancata trasmissione dei coefficienti irrilevanti comporterebbe una compressione del flusso numerico prodotto (fig. 7.15). La rappresentazione troncata x di x è data da

${\hat {x}}=\sum _{i=0}^{D-1}X_{i}\ \Phi _{i}$

(7.43)

ed il corrispondente MSE si ottiene come

$\epsilon _{D}={\frac {1}{N}}E\left[\sum _{n=0}^{N-1}|x(n)-{\hat {x}}(n)|^{2}\right]={\frac {1}{N}}Tr\left\{\left[(x-{\hat {x}})(x-{\hat {x}})^{T}\right]\right\}$

(7.44)

Introducendo una matrice identità I_d di dimensione D, l’MSE può essere riscritto come

$\epsilon _{D}={\frac {1}{N}}Tr\left[(I-B\ I_{D}A)R(I-B\ I_{D}A)^{T}\right]$

(7.45)

La minimizzazione dell’MSE è ottenibile differenziando questa espressione rispetto ad A ed uguagliando a zero

$I_{D}B^{T}(I-B\ I_{D}A)R=0$

(7.46)