Lezioni di analisi matematica/Capitolo 5/Paragrafo 26

by Guido Fubini

Capitolo 5 - Regola di Rouché

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

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§ 26. — Regola di Rouché.

Ritorniamo al sistema più generale [1] del § 24. Scegliamo tra le [1] un certo numero $h$ di equazioni, e in queste equazioni diamo valori arbitrarii ad $n-h$ incognite (con $h$ indichiamo un intero non maggiore nè di $n$, nè di $m$). Otterremo così un sistema di $h$ equazioni in $h$ incognite. Senz’altro supporremo che le equazioni scelte siano le prime $h$, e che le incognite a cui sono stati dati valori arbitrarii sieno le ultime $n-h$, cioè le $x_{h+1},x_{h+2},\ldots ,x_{n}$. Nè ciò del resto diminuisce la generalità, perchè possiamo sempre ridurci a questo caso, mutando l’ordine delle equazioni e quello delle incognite. In questo modo avremo ottenuto un sistema di $h$ equazioni in $h$ incognite $x_{1},x_{2},\ldots x_{h}$.

(2)

${\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1h}x_{h}=[\alpha _{1}-a_{1,h+1}x_{h+1}-\cdots -a_{1n}x_{n}]\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2h}x_{h}=[\alpha _{2}-a_{2,h+1}x_{h+1}-\cdots -a_{2n}x_{n}]\\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\a_{h1}x_{1}+a_{h2}x_{2}+\cdots +a_{hh}x_{h}=[\alpha _{h}-a_{h,h+1}x_{h+1}-\cdots -a_{hn}x_{n}]\end{cases}}$

dove le $x_{h+1},\ldots ,x_{n}$ sono da riguardarsi come note, perchè ad esse diamo valori arbitrarii, che ancora indichiamo con $x_{h+1},\ldots +x_{n}$. Queste equazioni si potranno risolvere con la regola di Leibniz-Cramer del § 25, se il determinante dei coefficienti

(3)	${\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1h}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2h}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\a_{h1}&a_{h2}&\cdots &a_{hh}\end{vmatrix}}$

è differente da zero. Generalmente potremo in modi molteplici scegliere le $h$ equazioni ed $h$ incognite in guisa che sia soddisfatta quest’ultima condizione. E noi anzi cercheremo di fare tale scelta in guisa che l’intero $h$ riceva il massimo valore possibile (massimo valore, che chiameremo la caratteristica del dato sistema di equazioni). Dire che $h$ è scelto in questo modo (così da ricevere il massimo valore possibile) è come dire che i determinanti di ordine $k>h$ formati coi coefficienti di $k$ incognite in $k$ delle nostre equazioni sono tutti nulli (ammesso che di tali determinanti ce ne siano, cioè che $k<m$, e che $h<n$), mentre almeno un minore di ordine $h$ (che, come dicemmo, possiamo supporre sia il minore (3)) è differente da zero.

In virtù dei risultati del § 24 alla $r^{esima}$ delle residue $m-h$ equazioni ($r=h+1,h+2,\ldots ,n$) possiamo sostituire la

${\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1h}&\alpha _{1}-[a_{1,h+1}x_{h+1}+\cdots +a_{1n}x_{n}]\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2h}&\alpha _{2}-[a_{2,h+1}x_{h+1}+\cdots +a_{2n}x_{n}]\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\a_{h1}&a_{h2}&\cdots &a_{hh}&\alpha _{h}-[a_{h,h+1}x_{h+1}+\cdots +a_{hn}x_{n}]\\a_{r1}&a_{r2}&\cdots &a_{rh}&\alpha _{r}-[a_{r,h+1}x_{h+1}+\cdots +a_{rn}x_{n}]\end{vmatrix}}=0$

cioè

${\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1h}&\alpha _{1}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2h}&\alpha _{2}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\a_{h1}&a_{h2}&\cdots &a_{hh}&\alpha _{h}\\a_{r1}&a_{r2}&\cdots &a_{rh}&\alpha _{r}\end{vmatrix}}-x_{h+1}{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1h}&a_{1,h+1}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2h}&a_{2,h+1}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\a_{h1}&a_{h2}&\cdots &a_{hh}&a_{h,h+1}\\a_{r1}&a_{r2}&\cdots &a_{rh}&a_{r,h+1}\end{vmatrix}}-$

$\cdots -x_{n}{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1h}&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2h}&a_{2n}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\a_{h1}&a_{h2}&\cdots &a_{hh}&a_{hn}\\a_{r1}&a_{r2}&\cdots &a_{rh}&a_{rn}\end{vmatrix}}=0$.

In questa equazione i coefficienti di $x_{h+1},x_{h+2},\ldots ,x_{n}$ sono tutti nulli, per quanto abbiamo detto poco sopra circa la caratteristica $h$.

Quindi questa equazione si può scrivere:

(4)

${\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &\cdots &a_{1h}&\alpha _{1}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &\cdots &a_{2h}&\alpha _{2}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\\a_{h1}&a_{h2}&\cdots &\cdots &a_{hh}&\alpha _{h}\\a_{r1}&a_{r2}&\cdots &\cdots &a_{rh}&\alpha _{r}\end{vmatrix}}=0\;(r=h+1,h+2,\ldots ,m)$.

Se h è la caratteristica del sistema [1] del § 24, ed è differente da zero il determinante (3), noi possiamo alle ${\text{m}}-{\text{h}}$ equazioni dopo la $\mathrm {h^{esima}}$, sostituire le eguaglianze (4) che si ottengono uguagliando a zero gli $\mathrm {m-h}$ determinanti (4) dedotti da (3) orlando con una riga di coefficienti di una di queste $\mathrm {m-h}$ equazioni, e con una colonna dei corrispondenti termini noti.

Distinguiamo due casi:

1°) Uno di questi $m-h$ determinanti orlati è differente da zero. In tal caso le (4) sono contraddittorie; e quindi il dato sistema [1] non è risolubile (non ammette alcun sistema di risoluzioni).

2°) I determinanti orlati sono tutti nulli; allora il dato sistema [1] si riduce a (2). Scelti arbitrariamente i valori di $x_{h+1},x_{h+2},\ldots ,x_{n}$, si dedurranno da (2) con la regola di Leibiz-Cramer i valori di $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{h}$. E otteniamo così, se $h=n$, un solo sistema di soluzioni di (1) e, se $h<n$, infiniti sistemi di soluzioni, ciascuno dei quali è determinato dagli $n-h$ valori dati arbitrariamente a ciascuna delle $x_{h+1},x_{h+2},\ldots ,x_{n}$.