Lezioni di analisi matematica/Capitolo 4/Paragrafo 13

Capitolo 4 - Regola di Ruffini

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§ 13. - Regola di Ruffini.

Vogliamo dividere il polinomio

per . Il quoziente sarà un polinomio

di grado ; il resto sarà un polinomio di grado zero, cioè un numero indipendente da Calcoliamo quoziente e resto. Sarà identicamente

.

Cioè, confrontando i coefficienti delle varie potenze della :

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Le quali formole equivalgono alle seguenti che consentono il più semplice e rapido calcolo dei coefficienti e del resto

. . . . . .
. . . . . .
.

Cioè: I primi coefficienti a0, q0 sono uguali; e per ogni qs è uguale al coefficiente omologo as aumentato dal prodotto di per il precedente coefficiente qs-1. Posto R = qn, questa proposizione è vera anche per s = n.

Le precedenti formole dimostrano che:

; ;

.

L’ultima delle quali si enuncia così:

Il resto ottenuto nella divisione di un polinomio P(x) per si ottiene scrivendo al posto della x in P(x). Cosicchè: Il polinomio P(x) è divisibile per allora e allora soltanto che soddisfa alla , cioè che è radice dell’equazione .

Caso particolare di queste formole sono le identità:

per intero positivo

e per intero dispari

.

Se nella penultima formola poniamo , , troviamo

,

che è una formola ben nota nella teoria delle progressioni geometriche.