Lezioni di analisi matematica/Capitolo 4/Paragrafo 11

Capitolo 4 - Calcolo combinatorio. Prodotti di binomii e formola del binomio

../../Capitolo 4 ../Paragrafo 12 IncludiIntestazione 5 dicembre 2022 100% Da definire

Capitolo 4 - Calcolo combinatorio. Prodotti di binomii e formola del binomio
Capitolo 4 Capitolo 4 - Paragrafo 12
[p. 42 modifica]

§ 11. — Calcolo combinatorio. Prodotti di binomii e formola del binomio.

) Ricordiamo rapidamente una ben nota formola di calcolo combinatorio.

Sia il numero delle combinazioni di oggetti ad ad , cioè il numero dei modi possibili, in cui possiamo scegliere un gruppo di elementi tra elementi prefissati.

Per è evidentemente . Se poi è un gruppo di elementi scelti tra i dati, noi potremo dedurne un gruppo di elementi, aggiungendo a uno dei residui elementi; otteniamo così da ogni proprio gruppi . Operando però in tal modo sui vari , otteniamo ogni precisamente volte, perchè ogni contiene gruppi . Perciò il numero dei è uguale al prodotto di per il numero dei . Quindi

; ;
; eccetera
. (1)

[p. 43 modifica]che si può scrivere . Ne risulta in particolare 1.

Il numeratore della (1) dà il numero delle disposizioni di oggetti ad ad cioè il numero dei modi con cui si possono scegliere ed ordinare oggetti tra oggetti dati, quando si considerino come distinti due gruppi, anche se differiscono soltanto per l’ordine in cui si susseguono i dati oggetti. Infatti il primo oggetto di una di tali disposizioni si può scegliere ad arbitrio tra gli oggetti dati; il secondo si potrà scegliere tra i residui ; scelti i primi due oggetti, il terzo si può scegliere tra i residui ; e così via; lo ultimo oggetto della disposizione si può scegliere tra oggetti.

Così il denominatore è il numero delle disposizioni di oggetti ad ad , cioè il numero delle permutazioni di oggetti.

La formola precedente dimostra dunque che, come si può dimostrare direttamente nel modo più semplice, il numero delle combinazioni di n oggetti ad h ad h è uguale al quoziente ottenuto dividendo il numero delle disposizioni di n oggetti ad h ad h per il numero delle permutazioni di h oggetti2.

) Siano numeri qualsiasi. Consideriamo il prodotto:

.

L’algebra elementare insegna che questo prodotto è uguale alla somma di tutti i prodotti ottenuti moltiplicando tra di loro un addendo del binomio , un addendo del binomio , ..., un addendo del binomio . Tra questi prodotti ve ne saranno alcuni che non contengono la (o, come si dice, che contengono il solo fattore , altri che contengono il fattore e non il fattore , altri che contengono il fattore e non il fattore , eccetera, altri che contengono il fattore . Per formare quelli dei prodotti , che contengono il fattore e non il fattore , si dovrà scegliere in dei binomii , il primo addendo , e negli altri binomii si dovrà scegliere il secondo addendo, per fare poi il prodotto degli addendi così scelti. Ognuno di questi prodotti sarà dunque il prodotto di per un prodotto di fattori scelti tra le quantità . La somma di questi prodotti sarà dunque il prodotto di per la [p. 44 modifica]somma di tutti i possibili prodotti ad ad delle quantità .

Si avrà così:

dove il coefficiente di è la somma degli prodotti, che si ottengono moltiplicando a a in tutti i modi possibili le . Se , questi prodotti sono tutti uguali ad . E perciò:

.

Come si riconosce dal teorema di questo § 11 a pagina 43, i coefficienti del 2° membro equidistanti dagli estremi sono uguali tra di loro, ciò che si poteva prevedere a priori, osservando che il 1° e quindi anche il 2° membro non mutano scambiando con . Se nella formola iniziale poniamo al posto di troviamo, indicando ancora con la somma degli prodotti ad ad delle quantità :

.

Note

  1. Questa uguaglianza diventa intuitiva per chi consideri che ogni gruppo di elementi determina un gruppo di elementi: quello formato con gli elementi residui. E viceversa. Dunque tanti sono i gruppi di elementi, quanti i gruppi di elementi.
  2. Infatti, permutando nei modi possibili gli oggetti di ogni combinazione, si ottengono tutte le disposizioni