Lezioni di analisi matematica/Capitolo 20/Paragrafo 132

Capitolo 20 - Trasformazione degli integrali doppi

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§ 132. Trasformazione deli integrali doppii.

(Cfr. §§ 108-108bis)

) Sia un campo del piano , ne sia il contorno 1; e sia una funzione continua in . Siano due funzioni derivabili delle in

(1)

in guisa che per ogni punto di siano completamente determinati i valori delle . Viceversa, dai questi valori, sia [p. 441 modifica]completamente determinato il punto ; in altre parole si possano risolvere le (1) rispetto alle :

(2)

Le (2) posseggano derivate prime e seconde finite e continue.

Assumiamo come coordinate cartesiane ortogonali in un altro piano. Ogni punto di determina i corrispondenti valori delle , e quindi anche il punto del piano , che ha questi valori come coordinate; al variare di math>A</math> in , varierà anche il punto riempiendo un'area . Ogni punto di determinerà a sua volta, per le (2), uno e un solo punto corrispondente di . In questa corrispondenza biunivoca tra i punti di e di ai punti del contorno di corriponderanno i punti del contorno di .

) Quando avviene che in tale corrispondenza si conservi il verso (non la grandezza) degli angoli? Sia una curva in e sia la tangente dell'amngolo , che la retta tangente a in un punto forma con l'asse delle . Sia la curva luogo dei punti di , che corrispondono ai punti di : e sia il punto corrispondente di . La sarà la tangente dell'angolo , che la retta tangente a in fa con l'asse delle . Il verso degli angoli sarà conservato, allora e allora soltanto che cresce al crescere di . [p. 442 modifica]Ma ora:

.

Affinchè cresca con , bisogna dunque che , ove , , , si considerino come costanti, sia una funzione crescente della , ossia che la sua derivata sia positiva, ossia che . Se fosse invece , il verso positivo degli angoli non sarebbe conservato.

Noi chiameremo Jacobiano delle rispetto alle , e indicheremo con il binomio , ossia il determinante

,

che noi supporremo avere costantemente uno stesso segno.

Secondo che questo jacobiano è positivo o negativo, il verso o senso degli angoli è, o non è, conservato, e quindi, mentre si percorre in verso positivo (lasciando a sinistra), il punto corrispondente percorre in verso positivo o negativo.

) Sia ora una funzione tale che . Sarà:

(3)      per il teorema del § 128.

Se indichiamo con anche la funzione delle , che si ottiene sostituendo in alle i valori (2), sarà:

,

dove con indico il contorno di di percorso nel verso in cui si muove un punto , il cui punto corrispondente di percorre nel verso positivo. Se dunque poniamo secondo [p. 443 modifica]che il precedente Jacobiano è positivo, o negativo, sarà, ricordando i teoremi del § 128, e supponendo percorso in modo da lasciare a sinistra:

,

dove, nell'ultimo membro, ho di nuovo considerato funzione delle . Riducendo, e ricordando che , se ne deduce infine:

(4).

Le (3), (4) dànno:

(5)

che costituisce la formola fondamentale per il cambiamento di variabili negli integrali doppi. La si confronti con la formola

dell'integrazione per sostituzione per gli integrali di una sola variabile, dove con si indichino due variabili, di cui una funzione dell'altra, e con segmenti corrispondenti sulle rette delle due variabili. L'analogia risulta evidente; alla di quest'ultima formola corrisponde nella formola sopra scritta lo Jacobiano ; il quale viene preso in valore assoluto, perchè le aree si considerano sempre positive, mentre il segmento può essere anche il segno opposto a . Se ponessimo , il nostro Jacobiano si riduce a e si ritorna così alla formola del § 108. (Cfr. l'oss. a pag. 353).



Note

  1. Si suppone che soddisfino alle solite condizioni enunciate nei §§ precedenti.