Lezioni di analisi matematica/Capitolo 19/Paragrafo 125

by Guido Fubini

Capitolo 19 - Inviluppi di una schiera di curve

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

Capitolo 19 - Inviluppi di una schiera di curve

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§ 125. — Inviluppi di una schiera di curve.

È molte volte comodo individuare una curva $\Gamma$, dando infinite linee $C$, tali che per ogni punto $A$ di $\Gamma$ passi una $C$ tangente in $A$ alla $\Gamma$.

Così, p. es., assai soesso si dà una curva $\Gamma$ definendo le rette $C$ tangenti a $\Gamma$ (si ricordi, p. es., l'equazione tangenziale di una conica $\Gamma$). Così assai soesso nelle scienze applicate a una curva $\Gamma$ si sostituisce una curva policentrica $\Gamma '$; si osserva cioè che $\Gamma$ è tangente a ciascuno dei suoi cerchi osclutaori $C$, e si sostituisce ala $\Gamma$ una curva $\Gamma '$ formata con un numero finito di archetti circolari: ognuno dei quali è un arco di un cerchio osculatore $C$¹. Infine la evoluta $\Gamma$ di una curva $E$ si può definire come la linea a cui sono tangenti le rette $C$ normali alla $E$.

Se, p. es., $y=f(x)$ è l'equazione di $E$, la retta $C$ normale alla $E$ nel punto di ascissa $a$ è definita dall'equazione:

$[y-f(a)]f'(a)+(x-a)=0$.

E ci si può proporre il problema di dedurne direttamente le coordinate $(\xi ,\eta )$ del punto ove tale retta tocca l'evoluta.

Per dare un altro esempio più semplice, i cerchi $C$ di equazione

$(x-a)^{2}+y^{2}-1=0$

(che hanno il centro in quel punto dell'asse delle $x$, che ha l'ascissa $a$, e che hanno $1$ per raggio) sono tutti (qualunque sia $a$) tangenti a ciascuna delle due rette $y=1,y=-1$. Ci si può porre il problema di dedurre direttamente questo teorema dalla equazione dei cerchi $C$.

Noi senz'altro esamineremo generalmente un sistema di infinite curve $C$ di equazione

                                                  $f(x,y,z)=0$                                               (1)

dove $a$ è un parametro costante lungo una corva del sistema, ma che varia da una all'altra curva.

Nel campo che consideriamo la $f$ e le sue derivate parziali del primo ordine sieno finite e continue.

Ricordo che il coefficiente angolare della retta tangente alla 81) nel punto $(x,y)$ vale $-{\frac {f'_{x}}{f'_{y}}}$ se, come supporremo, $f'_{x}\not =0$.

Supponiamo che esista una curva

                                                  $y=\varphi (x)$                                                  (2)

tale che per pgni punto $A$ di tale curva passi una e una sola curva 81) e che questa curva (1) sia tangente in $A$ alla curva (2). Cioè per ogni punto $A$ della curva (2) esiste un valore di $a$ tale che la curva 81) corrispondente a tale valore di $a$ passa per $A$ ed ivi tangente a (2). Questo valore di $a$ varia col punto $A$: è cioè una funzione $\Psi (x)$, che supporremo derivabile, della sua ascissa $x$.

Dunque ogni punto $A$ di ascissa $x$ e di ordinata $\varphi (x)$ soddisfa alla 81) ove di ponga $a=\Psi (x)$; cosicchè:

$f[x,\varphi (x),\Psi (x)]=0$

è un'identità- perciò derivando troviamo:

${\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}\varphi '(x)+{\frac {\partial f}{\partial s}}\Psi (x)=0$

[se $y=\varphi 8x)$; $a=\Psi (x)$]. Ma il coefficien angolare $\varphi '(x)$ della retta tangente a (2) nel punto $A$ è uguale al coefficiente angolare $-{\frac {f'_{x}}{f'_{y}}}$ della tangente a (1) nello stesso punto (e ciò perchè per ipotesi queste due rette tangenti coincidono). La precedente uguaglianza diventa quindi:

                                                  ${\frac {\partial f}{\partial a}}\Psi '(x)=0$.                                            ($\alpha$)

Se in un punto di (2) la ${\frac {\partial f}{\partial a}}$ è differente da zero, la ${\frac {\partial f}{\partial a}}$ (che è per ipotesi continua) sarà differente da zero anche nei punti vicini; e quindi per $(\alpha )$ dovrà ivi essere $\Psi (x)0$, cioè $a=$ costante. Cioè un pezzo almeno della curva (2) sarà addirittura un pezzo di una curva 81): nel caso che considereremo come banale.

Se così non è, avremo:

${\frac {\partial f}{\partial a}}=0$.

Cioè ogni punto $A$ della curva (2) sodisfa contemporaneamente alle:

                                        $f=0$          ${\frac {\partial f}{\partial a}}=0$                                             (3)

per un qualche valore di $a$ [che può variare con $A$, perchè $a=\Psi (x)$]. Viceversa, se per ogni pnto di una curva (2) esiste un valore di $a$ così che ne sieno soddisfatte le (3), allora per ogni $A$ di tae curva (2) esce una curva (1) che è tangente in $A$ a tale curva (2).

Una curva (2) in tali condizioni si chiama inviluppo delle (1). Quindi nelle nostre ipotesi:

L'inviluppo (i uno degli inviluppi) delle (1) è, se esiste, una curva, per ogni punto della quale esiste un valore di $\mathrm {a}$ tale che siano contemporaneamente soddisfatte le (3). Cosicchè, eliminando $\mathrm {a}$ tra le $\mathrm {f=f'a=0}$, si può dedurre spesso l'equazione dell'inviluppo.

Così, p. es., un inviluppo dei cerchi

                                             $(x-a)^{2}+y^{2}-1=0$                                 (4)

soddisfa anche alla $2(x-a)=0$, cioè alla $x=a$; e quindi (4) si riduce ad $y^{-}=0$; tali cerchi hanno dunque due inviluppi; la retta $y=1$ e la retta $y=-1$.

Esempi.

$\alpha$) Così, p. es., la retta $C$ tangente alla $y=f(x)$ nel punto $[a,f(a)]$ ha per equazione

                              $y-f(a)-(x-a)f'(a)=0$                              (5)

Questa retta $C$ dipende da un parametro $a$; l'equazione del suo inviluppo si otterrà eliminando la $a$ tra la (5) e l'equazione centrato|$-f'(a)+f'(a)-(x-a)f''(a)=0$,}} ossia

$(x-a)f\,\,\,(a)=0$

che se ne deduce, derivando (5) rispetto ad $a$. Supposto che nessun trato della $y=f(x)$ sia un segmento rettilineo (caso affatto elementare), per un valore generico di $a$ sarà $f''(a)\not =0$. E dall'ultima equazione ssi deduce $x-a=0$, pssia $a=x$. Sostituendo in (5) si trova:

$y=f(x)$,

che è l'equazione della curva iniziale; il che si poteva prevedere pensando che una curva è l'inviluppo delle sue tangenti.

$\beta$) L'inviluppo delle rette normali ad una curva $y=f(x)$ è l'evoluta della curva. L'equazionedella normale nel pnto di coordinate $a,f(a)$ è:

                              $[y-f(a)]f'(a)+x-a=0$                              (6)

che dipende dal parametro $a$. Il punto corrispondente dell'evoluta sarà il punto $(x,y)$ che soddisfa insieme alla (6) ed alla

$1+[f'(a)]^{2}-[y-f(a)]f''(a)=0$

che si deduce da (6) derivandolo rispetto ad $a$.

Se nelle (6), (7) poniamo $x_{0}$ ed $y_{0}$ al posto di $a$ e $f(a)$, e poniamo $\xi ,\eta$ al posto delle $x,y$, queste equazioni si riducono alle (8), (9) del § 124 [ove si supponga $x=t$ e quindi $x'_{0}=1$. $x''_{0}=0,y'_{0})f'(a)$ ed ${y''}_{0}={f''}(a)$] Resta così di nuovo provato che:

Il punto dove la normale in $\mathrm {A}$ alla curva $\mathrm {y=f(x)}$ tocca l'evoluta della curva è il centro del cerchio osculatore in $\mathrm {A}$. E quindi: L'evoluta si può definire sia come inviluppo delle normali, che come luogo dei centri dei cerchi osculatori.

Note

1. Basterebbe ricorrere a cerchi soltanto tangenti.