Lezioni di analisi matematica/Capitolo 17/Paragrafo 108 bis

Capitolo 17 - Integrali superficiali in coordinate generali

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Capitolo 17 - Integrali superficiali in coordinate generali
Capitolo 17 - Paragrafo 108 Capitolo 18
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§ 108 bisIntegrali superficiali in coordinate generali.

I risultati di questo paragrafo saranno dimostrati più avanti in modo semplice benchè diretto. Noi qui faremo invece delle ipotesi analoghe a quelle fatte ai §§ 103 e seg. che del resto sarebbe facile giustificare in modo diretto.

I risultati a cui giungeremo, si debbono riguardare come l'estensione del metodo di integrazione in coordinate polari a coordinate qualsiasi. Useremo, p. es., i metodi intuitivi del § 108.

Sia un'area del piano ; e siano <math<X, Y</math> due variabili: funzioni delle in .

Viceversa le si possano considerare come funzioni ed delle , così che un punto di si possa determinare tanto dando i corrispondendi valori delle , quanto quelli delle X, Y</math>.

Dividiamo con linee , indicando con gli incrementi che subisce la o la per passare da una tale linea alla successiva; sostituiamo poi a quelli dei quadrangoli curvilinei tutti interni a limitati da due linee consecutive , e il quadrangolo rettilineo che ha gli stessi vertici. L'area sarà così divisa in

) quadrangoli rettilinei tutti interni a ,

ed in

) poligoni curvilinei parte del contorno dei quali appartiene al contorno di .

Noi ammetteremo:

1° Il contributo portato alle nostre somme da questi ultimi poligoni tende a zero, quando i tendono contemporaneamente a zero.

2° Per calcolare i limiti che incontreremo (quando i tendono contemporaneamente a zero) si possono far tendere a zero prima i , poi i o viceversa.

Uno dei quadrangoli rettilinei ha i vertici posti sulle intersezioni di una linea e con due linee e . I suoi vertici saranno perciò i punti

               ;}}

               ;

               ;

               .

E la sua area sarà la somma delle aree dei traingoli 1. L'area del 1° vale (per nota formola di geometria analitica) il valore assoluto di

[p. 356 modifica]Supposto che le abbiano derivate prime e seconde finite e continue2, e ricordando la formola di Taylor

.

ed analoghe, si trova che tale area vale il valore assoluto di

dove è una quantità che (se con indichiamo una costante positiva maggiore in valore assoluto di tutti i valori delle derivate prime e seconde delle ) soddisfa alla

.

Altrettanto trovasi per il triangolo <math<BCD</math>. Cosicchè l'area del quadrangolo rettilineo vale il valore assoluto di

,

dove con indico il valore in del cosiddetto Jacobiano

e con indico una quantità soddisfacente alla

                                                  .                              (1)

Moltiplicando tale area per una valore , che la funzione assume in tale quadrangolo, e sommando tutti i prodotti così ottenuti, si trova

.

In virtù della (1) e con metodi analoghi a quelli dell'osserv. del § 108 si trova che il secondo addendo tende a zero, e che (cfr. § 103):

L'integrale è uguale a

.

Se , allora

.

E si ritorna alla formola del precedente § 108.

Oss. Se noi consideriamo come coordinate cartesiane ortogonali in un altro piano , e indichiamo con la regione di che è luogo dei punti corrispondenti ai punti di , se e indicano al solito le aree di due pezzi corrispondenti di e di , allora il valore assoluto del precedente Jacobiano vale naturalmente la derivata . Dimostrando direttamente questa proposizione, si avrebbe un'altra dimostrazione dei risultati di questo §.



Note

  1. Suppongo per semplicità che e sieno da bando opposte della retta . Come abbiamo già detto, una dimostrazione completa sarà data più tardi.
  2. Queste concezioni si potrebbero rendere meno restrittive.