Sul fondamento logico della matematica, 1935/Fondamento logico del calcolo infinitesimale

Fondamento logico del calcolo infinitesimale

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Numero e continuità. Fondamento dei sistemi matematici Esempio della coessenzialità delle operazioni D. U. tratto dalla geometria

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§ 5. - Fondamento logico del calcolo infinitesimale.


Il calcolo infinitesimale è l’analisi di un continuo di cui la nota formula, la quale stabilisce che esiste ed è finito il limite del rapporto incrementale



è l’espressione più elementare.

Questa formula ovviamente restringe il campo della continuità.

Interessa alla logica verificare se l’invenzione del calcolo infinitesimale soddisfi alle due condizioni fondamentali del pensare.

Dato un continuo nel quale esiste la funzione f(x0) continua e finita, se in primo luogo esiste il limite del rapporto dei due incrementi, l’uno della [p. 8 modifica]funzione f(x0), l’altro della variabile x0 e se, in secondo luogo questo rapporto è finito, a questo rapporto si dà il nome di derivata. In questa definizione, che è il fondamento di tutta l’analisi, la condizione che il limite del rapporto incrementale è finito è puramente matematica; la condizione dell’esistenza è matematica e logica insieme: il rapporto esiste matematicamente come quantità variabile da punto a punto; logicamente è un invariante nella variazione dei suoi valori1.

Questo invariante logico ci mostra l’intervento della parte logica nella formazione della derivata, perchè l’incremento della variabile corrisponde alla variazione dell’ente, l’incremento della funzione alla variazione della relazione che lega gli enti. Questo significa che l’invarianza del rapporto incrementale nel passaggio al limite esprime l’invarianza del rapporto logico delle due forme fondamentali del pensare, una corrispondente al discorso (ente), l’altra all’universo (relazione), cioè al rapporto logico D. U.

  1. Questo concetto dell’invariante logico, ben diverso dall’invariante matematico, è largamente chiarito in uno studio in corso di stampa