Sopra alcune questioni nella teoria delle curve piane (Cremona)/1

Art. 1. Sulla generazione di una curva mediante due fasci progettivi

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Art. 1. Sulla generazione di una curva mediante due fasci progettivi
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[p. 135 modifica]1. Siano dati due fasci projettivi di curve. Le curve del primo fascio abbiano in un punto-base la tangente comune, e questo punto giaccia anche sulla curva del secondo fascio che corrisponde a quella curva del primo per la quale è un punto doppio. In questo caso, è noto (Introd. 51, b) che il luogo delle intersezioni delle curve corrispondenti dei due fasci passa due volte per . Ora ci proponiamo di determinare le due tangenti del luogo nel punto doppio.

2. Lemma. Siano , le curve corrispondenti di due fasci projettivi dello stesso ordine , i quali generano una curva dell’ordine , passante pei punti-base dei due fasci.

Le curve individuano un nuovo fascio i cui punti-base sono in ; ogni curva di questo fascio segherà in altri punti, pei quali e per un punto fissato ad arbitrio in descrivendo una curva d’ordine , questa segherà in altri punti fissi, qualunque sia la curva scelta nel fascio (Introd. 54, a). Se il punto arbitrario è un punto-base del fascio , esso cogli altri punti fissi costituirà la base . Infatti la curva sega in punti, de’ quali giacciono in , e gli altri in ; e così sega in punti de’ quali appartengono ad e gli altri a . Dunque una qualsivoglia curva del fascio segherà in altri punti [p. 136 modifica]situati in una curva del fascio . Donde segue che i fasci , sono projettivi e che la curva da essi generata è ancora .

Analogamente le seconde intersezioni di con saranno anche situate in una curva del fascio . E per tal modo otteniamo un nuovo fascio projettivo ai dati, i punti-base del quale giacciono in . Siccome poi le curve , , , ... appartengono rispettivamente ai fasci , , , ... i cui punti-base sono tutti in , così il fascio insieme con l’uno o con l’altro dei dati genera di nuovo la medesima curva . Ossia:

Dati due fasci projettivi , di curve dello stesso ordine, i quali generano una curva ; se è una curva scelta ad arbitrio nel fascio , si possono determinare altre curve che appartengano rispettivamente ai fasci e formino con un nuovo fascio projettivo ai dati e generante con ciascuno di questi la medesima curva .

3. Siano ora , due fasci projettivi di curve d’ordine qualunque, i quali generino una curva . Se sono due linee arbitrarie, i due fasci projettivi , che si ottengono accoppiando o a ciascuna curva dell’uno o dell’altro fascio dato, genereranno evidentemente un luogo composto delle tre curve . Le linee siano poi scelte di tale ordine che i due nuovi fasci risultino dello stesso ordine; e, secondo il teorema precedente, si formi un nuovo fascio projettivo ai precedenti, le cui curve appartengano rispettivamente ai fasci , , ... e siano tali che il nuovo fascio insieme col precedente generi il luogo . Allora è evidente che i due fasci projettivi e genereranno il luogo .

4. Supponiamo ora che tutte le curve del fascio tocchino una stessa retta in uno stesso punto : sia la curva per la quale è un punto doppio; e la corrispondente curva passi anch’essa per . Allora avrà due rami incrociati in : quali saranno le tangenti di nel punto medesimo?

Si scelga per una linea non passante per ; ed sia composta della retta e di un’altra linea non passante per . In tal caso le curve del fascio avranno in la stessa tangente : sia quella curva di questo fascio, per la quale è un punto doppio. Questo punto è doppio per le due curve complesse ; epperò esso sarà doppio per tutte le curve del fascio , fra le quali trovasi . Ora, la curva (insieme con ) è generata dai due fasci projettivi , nel secondo de’ quali tutte le curve hanno un punto doppio in ; dunque (in virtù del teorema Introd. 52, [39] ove si faccia , ) le tangenti di in sono le tangenti della curva del secondo fascio la quale corrisponde a quella curva del primo che passa per . [p. 137 modifica]Siccome appartiene al fascio , così le due tangenti di in sono raggi coniugati in una involuzione quadratica nella quale le tangenti di sono coniugate fra loro, e la tangente di è coniugata con (Introd. 48).