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<math>(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k=\binom{n}{0}a^nb^0+\binom{n}{1}a^{n-1}b^1+\ldots+\binom{n}{n-1}a^1b^{n-1}+\binom{n}{n}a^0b^n</math>.
 
<math>(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k=\binom{n}{0}a^nb^0+\binom{n}{1}a^{n-1}b^1+\ldots+\binom{n}{n-1}a^1b^{n-1}+\binom{n}{n}a^0b^n</math>.
   
Questa e la somma di <math>n+1</math> monomi tutti contenenti le due lettere a e b elevate ad esponenti la cui somma da sempre n precedute da certi coefficienti che sono rappresentati dalle coppie di numeri sovrapposti tra parentesi. Ad esempio per n=3 abbiamo:
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Questa e la somma di ''<math>n+1</math> monomi'' tutti contenenti le due lettere ''a'' e ''b'' elevate ad esponenti la cui somma sempre ''n'' precedute da certi ''coefficienti'' che sono rappresentati dalle coppie di numeri sovrapposti tra parentesi. Ad esempio per ''n=3'' abbiamo:
   
 
<math>(a+b)^3=\sum_{k=0}^{3}\binom{3}{k}a^{3-k}b^k=\binom{3}{0}a^3b^0+\binom{3}{1}a^2b^1+\binom{3}{2}a^1b^{2}+\binom{3}{3}a^0b^3=a^3+3a^2b+3a^1b^2+b^3</math>
 
<math>(a+b)^3=\sum_{k=0}^{3}\binom{3}{k}a^{3-k}b^k=\binom{3}{0}a^3b^0+\binom{3}{1}a^2b^1+\binom{3}{2}a^1b^{2}+\binom{3}{3}a^0b^3=a^3+3a^2b+3a^1b^2+b^3</math>
   
in cui nell’ultimo membro sono stati eliminati i termini uguali ad 1. Il grado di a cala da 3 sino a 0 mentre quello di b cresce da 0 a 3. I simboli con due numeri sovrapposti tra parentesi tonde che indicano i coefficienti si chiamano proprio coefficienti binomiali. Quelli nell’esempio hanno il numero superiore sempre uguale a 3 (cioe all’esponente n) e quello inferiore che parte da 0 ed arriva a 3. Li si calcola con una formula che coinvolge i fattoriali e che e un po’ macchinosa:
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in cui nell’ultimo membro sono stati eliminati i termini uguali ad 1. Il grado di ''a'' cala da 3 sino a 0 mentre quello di ''b'' cresce da 0 a 3. I simboli con due numeri sovrapposti tra parentesi tonde che indicano i coefficienti si chiamano proprio ''coefficienti binomiali''. Quelli nell’esempio hanno il numero superiore sempre uguale a 3 (cioè all’esponente ''n'') e quello inferiore che parte da ''0'' ed arriva a ''3''. Li si calcola con una formula che coinvolge i fatt''Testo in corsivo''oriali e che è un po’ macchinosa:
   
 
<math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{(n-k+1)\cdot(n-k+2)\cdot\ldots\cdot n}{2\cdot3\cdot\ldots\cdot k}</math>.
 
<math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{(n-k+1)\cdot(n-k+2)\cdot\ldots\cdot n}{2\cdot3\cdot\ldots\cdot k}</math>.
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Nell’esempio: <math>\binom{3}{0}=\frac{3!}{0!(3-0)!}=\frac{3!}{1\cdot3!}=1</math>; <math>\binom{3}{1}=\frac{3!}{1!\cdot2!}=\frac{6}{2}=3</math>; <math>\binom{3}{2}=\frac{3!}{2!\cdot1!}=3</math>; <math>\binom{3}{3}=\frac{3!}{3!(3-3)!}=\frac{3!}{3!\cdot0!}=1</math>.
 
Nell’esempio: <math>\binom{3}{0}=\frac{3!}{0!(3-0)!}=\frac{3!}{1\cdot3!}=1</math>; <math>\binom{3}{1}=\frac{3!}{1!\cdot2!}=\frac{6}{2}=3</math>; <math>\binom{3}{2}=\frac{3!}{2!\cdot1!}=3</math>; <math>\binom{3}{3}=\frac{3!}{3!(3-3)!}=\frac{3!}{3!\cdot0!}=1</math>.
   
Accade pero che questi coefficienti siano gli stessi che compaiono nel Triangolo se intepretiamo n come numero di riga e k come posto del coefficiente all’interno della riga. Cosi ad esempio nella riga numero 3 al secondo posto troviamo proprio 3 che e il risultato del calcolo precedente. Quindi grazie al Triangolo possiamo sviluppare senza troppi calcoli una potenza di un binomio con esponente alto, al prezzo di scrivere Triangolo sino alla riga desiderata:
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Accade però che questi coefficienti siano gli stessi che compaiono nel Triangolo se interpretiamo ''n'' come numero di riga e ''k'' come posto del coefficiente all’interno della riga. Così ad esempio nella riga numero ''3'' al secondo posto troviamo proprio 3 che è il risultato del calcolo precedente. Quindi grazie al Triangolo possiamo sviluppare senza troppi calcoli una potenza di un binomio con esponente alto, al prezzo di scrivere Triangolo sino alla riga desiderata:
   
 
<math>\begin{align}&(a+b)^6=1a^6b^0+6a^5b^1+15a^4b^2+20a^3b^3+15a^2b^4+6a^1b^5+1a^0b^6= \\ &=a^6+6a^5b+15a^4b^2+20a^3b^3+15a^2b^4+6ab^5+b^6. \end{align}</math>
 
<math>\begin{align}&(a+b)^6=1a^6b^0+6a^5b^1+15a^4b^2+20a^3b^3+15a^2b^4+6a^1b^5+1a^0b^6= \\ &=a^6+6a^5b+15a^4b^2+20a^3b^3+15a^2b^4+6ab^5+b^6. \end{align}</math>
   
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'''3.2.23 Qín Jiǔshào''' (秦九劭)
3.2.23 Qin Jiǔshao (秦九劭) Altro esponente della ricerca matematica cinese del XIII secolo (1202 – 1261), e l’autore del Trattato matematico in nove parti (数书九章 Shushū Jiǔzhāng, 1247) che e l’opera cinese più antica pervenutaci in cui compare il simbolo 〇 per lo zero (Bagni, 1996). Si tratta di un libro dai molti interessi (equazioni algebriche, cose militari, cartografia, fisco, agrimensura, scienze delle costruzioni, fenomeni celesti, problemi finanziari su prezzi ed interessi, tecniche di immagazzinamento di cereali) ricco di argomentazioni matematiche). Ognuno dei 9 capitoli contiene 9 problemi. Si risolvono equazioni algebriche, sistemi lineari e si calcolano somme di serie aritmetiche. Vi compare una riformulazione del Teorema cinese del resto di Sunzǐ (孙子), che infatti gli e talora attribuito, con commenti e nuove applicazioni algoritmiche applicate alla risoluzione di problemi. Ci sono alcune formule per il calcolo di aree, tra cui una analoga a quella di Erone di Alessandria (10 – 70 p.E.v.) che permette di calcolare l’area di un triangolo dalla lunghezza dei tre lati. Qin non era un ricercatore a tempo pieno essendosi piuttosto impegnato con successo nella carriera amministrativa. Raggiunta una posizione di potere fu corrotto e concussore. Si occupo di astronomia e del calendario per determinare le date dei solstizi. Scheda
 
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Altro esponente della ricerca matematica cinese del XIII secolo (1202 – 1261), e l’autore del Trattato matematico in nove parti (数书九章 Shushū Jiǔzhāng, 1247) che e l’opera cinese più antica pervenutaci in cui compare il simbolo 〇 per lo zero (Bagni, 1996). Si tratta di un libro dai molti interessi (equazioni algebriche, cose militari, cartografia, fisco, agrimensura, scienze delle costruzioni, fenomeni celesti, problemi finanziari su prezzi ed interessi, tecniche di immagazzinamento di cereali) ricco di argomentazioni matematiche). Ognuno dei 9 capitoli contiene 9 problemi. Si risolvono equazioni algebriche, sistemi lineari e si calcolano somme di serie aritmetiche. Vi compare una riformulazione del Teorema cinese del resto di Sunzǐ (孙子), che infatti gli e talora attribuito, con commenti e nuove applicazioni algoritmiche applicate alla risoluzione di problemi. Ci sono alcune formule per il calcolo di aree, tra cui una analoga a quella di Erone di Alessandria (10 – 70 p.E.v.) che permette di calcolare l’area di un triangolo dalla lunghezza dei tre lati. Qin non era un ricercatore a tempo pieno essendosi piuttosto impegnato con successo nella carriera amministrativa. Raggiunta una posizione di potere fu corrotto e concussore. Si occupo di astronomia e del calendario per determinare le date dei solstizi.
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